定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

■答

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }$ 　　

■ヒント

定積分の基本式

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ 　　

基本となる関数の積分

$3$\displaystyle{ \int \cos xdx=\sin x+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

を用いる．

■解説

あらかじめ， $3$\displaystyle{\int \cos $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx }$ を求めておく．

$3$\displaystyle{\int \cos $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx }$ 　　

（この積分を参考にするとよい）

$3$\displaystyle{=\sin $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ +C}$ 　　

（これが $3$\displaystyle{ \cos $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ の原始関数である）

よって，定積分の計算(ヒントの式)より

$3$\displaystyle{\int _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \cos $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx }$ 　 $3$\displaystyle{= \[ \sin $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \] _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ 　　

となる．

$3$\displaystyle{=\sin $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ - \sin $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{=\sin {\pi}- \sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }$ 　　

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最終更新日： 2023年11月23日