定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{\int _{1}^{2} $ {x}^{3}- 3{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}} $ dx }$

■解説動画

◇積分の動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2} 21 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+2\sqrt{2}}$

■ヒント

定積分の基本式より

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ ･･････(1) 　

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \int {x}^{{\alpha}}dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}}{x}^{ {\alpha}+1 }+C }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(2)

を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{\int _{1}^{2} $ {x}^{3}- 3{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}} $ dx }$

（計算しやすいよう， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}}={x}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ （累乗）に変換）

$3$\displaystyle{=\int _{1}^{2} {x}^{3} dx- 3\int _{1}^{2} {x}^{2} dx+\int _{1}^{2} {x}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dx }$

(定積分の基本式より，式を変形)

$3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3+1 \hspace{2}}{x}^{ 3+1 } \] _{1}^{2}- 3 \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2+1 \hspace{2}}{x}^{ 2+1 } \] _{1}^{2}+ \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1 \hspace{2}}{x}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1 } \] _{1}^{2}}$

（ヒントの式(1)，(2)を適用する）

$3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4} \] _{1}^{2}- 3 \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3} \] _{1}^{2}+ \[ 2{x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \] _{1}^{2}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ {2}^{4}- {1}^{4} $ - $ {2}^{3}- {1}^{3} $ +2 $ {2}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }- {1}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 16- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- $ 8- 1 $ +2 $ \sqrt{2}- 1 $ }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 21 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+2\sqrt{2}}$

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>定積分の問題>> $3$\displaystyle{\int _{1}^{2} $ {x}^{3}- 3{x}^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}} $ dx }$

最終更新日： 2025年6月9日