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累乗

$3$a$ を $3$n$ 回かけたものを $3$a$ の $3$n$ 乗といい， $3$\displaystyle{ {a}^{n} }$ と表す．

式で書くと

$3$\displaystyle{ {\underbrace{ a\times a\times a\times \cdots \times a\times a }_{ n\text{\text{ times}} }={a}^{n} }$

( $3$n$ ：正の整数)

となる．

$3$\displaystyle{ {a}^{n} }$ の形をした数または式を $3$a$ の累乗（るいじょう）といい， $3$a$ を底， $3$n$ を指数という．

$3$a$ の累乗には以下に示す指数法則が成り立つ．

指数法則

$3$m$ ， $3$n$ は正の整数とするとき

● $3$\displaystyle{{a}^{m}\cdot {a}^{n}={a}^{ m+n }}$

● $3$\displaystyle{{ \( {a}^{m} \) }^{n}={a}^{ mn }}$

● $3$\displaystyle{{ \( ab \) }^{m}={a}^{m}{b}^{m}}$

　

■指数法則の具体的な計算例

$3$\displaystyle{{a}^{m}\cdot {a}^{n}={a}^{ m+n }}$ の具体的計算例

$3$\displaystyle{ {3}^{2}\times {3}^{3} = \( 3\times 3 \) \times \( 3\times 3\times 3 \) }$

$3$\displaystyle{ ={3}^{ 2+ 3 } }$

$3$\displaystyle{ ={3}^{5} }$

3を5回かけたことになる（ $3$\displaystyle{ 2+3=5 }$ ）

$3$\displaystyle{ {5}^{3}\times {5}^{5} }$ $3$\displaystyle{ = \( 5\times 5\times 5 \) \times \( 5\times 5\times 5\times 5\times 5 \) }$

$3$\displaystyle{ ={5}^{ 3+ 5 } }$

$3$\displaystyle{ ={5}^{8} }$

5を8回かけたことになる（ $3$\displaystyle{ 3+5=8 }$ ）
$3$\displaystyle{{ \( {a}^{m} \) }^{n}={a}^{ mn }}$ の具体的計算例

$3$\displaystyle{ { \({2}^{3}\) }^{2} = \({2}^{3}\) \times \({2}^{3}\) }$

$3$\displaystyle{ = \( 2\times 2\times 2 \) \times \( 2\times 2\times 2 \) }$

$3$\displaystyle{ ={2}^{ 3\times 2 } }$

$3$\displaystyle{ ={2}^{6} }$

2を6回かけたことになる（ $3$\displaystyle{ 3\times 2=6 }$ ）

$3$\displaystyle{ { \({7}^{4}\) }^{3} = \( 7\times 7\times 7\times 7 \) }$ $3$\displaystyle{ \times \( 7\times 7\times 7\times 7 \) }$ $3$\displaystyle{ \times \( 7\times 7\times 7\times 7 \) }$

$3$\displaystyle{ ={7}^{ 4\times 3 } }$

$3$\displaystyle{ ={7}^{12} }$

7を12回かけたことになる（ $3$\displaystyle{ 4\times 3=12 }$ ）
$3$\displaystyle{{ \( ab \) }^{m}={a}^{m}{b}^{m}}$ の具体的計算例

$3$\displaystyle{ { \( 2\times 3 \) }^{4} }$ $3$\displaystyle{ = \( 2\times 3 \) \times \( 2\times 3 \) \times \( 2\times 3 \) \times \( 2\times 3 \) }$

$3$\displaystyle{ = \( 2\times 2\times 2\times 2 \) \times \( 3\times 3\times 3\times 3 \) }$

$3$\displaystyle{ ={2}^{4}\times {3}^{4} }$

2を4回，3を4回かけたことになる

$3$\displaystyle{ { \( 5\times 7 \) }^{3} = \( 5\times 7 \) \times \( 5\times 7 \) \times \( 5\times 7 \) }$

$3$\displaystyle{ = \( 5\times 5\times 5 \) \times \( 7\times 7\times 7 \) }$

$3$\displaystyle{ ={5}^{3}\times {7}^{3} }$

5を3回，7を3回かけたことになる

■参考

⇒指数が[1]正の整数の場合，[2]0，負の整数の場合，[3]有理数の場合，[4]実数の場合

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最終更新日： 2023年7月28日