指数が実数の場合（指数を有理数から実数に拡張）

$3$\displaystyle{ a> 0 }$ で，指数 $3$x$ が実数の場合， $3$\displaystyle{ {a}^{x} }$ を以下のように定める．

数 $3$x$ に限りなく近づく有理数の数列 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{r}_{1},\hspace{1}{r}_{2},\hspace{1}{r}_{3},\cdots }$ を考えると，数列 $3$\displaystyle{ {a}^{ \hspace{1}{r}_{1} },{a}^{ \hspace{1}{r}_{2} },{a}^{ \hspace{1}{r}_{3} },\cdots }$ はある値に限りなく近づく．その値を $3$\displaystyle{ {a}^{x} }$ と定める．

このように定めると， $3$a$ の $3$r$ 乗 $3$\displaystyle{ {a}^{r} }$ の指数 $3$r$ が実数の場合でも，指数法則が成り立つ．

指数法則

$3$ a> 0$ ， $3$ b> 0$ ， $3$r$ ， $3$s$ は実数とするとき

$3$\displaystyle{{a}^{r}\cdot {a}^{s}={a}^{ r+s }}$
$3$\displaystyle{{ $ {a}^{r} $ }^{s}={a}^{ rs }}$
$3$\displaystyle{{ $ ab $ }^{r}={a}^{r}{b}^{r}}$
$3$ \frac{\hspace{2} {a}^{r} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{s} \hspace{2}}={a}^{ r- s }$
$3$\displaystyle{ { $ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} $ }^{r}=\frac{\hspace{2} {a}^{r} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{r} \hspace{2}} }$

例えば， $3$\displaystyle{ {3}^{ \sqrt{2} } }$ について説明する．

この場合， $3$\displaystyle{ a=3 }$ ， $3$\displaystyle{ x=\sqrt{2} }$ となる． $3$\displaystyle{ \sqrt{2}=1.4142135\cdots }$ なので， $3$\displaystyle{ \sqrt{2} }$ に限りなく近づく有理数の数列

1，1.4，1.41，1.414，1.4142，1.41421，1.414213，1.4142135，･･････

を考え，この数列を指数とする3の累乗の数列は

$3$ {3}^{1}$ ， $3$ {3}^{1.4}$ ， $3$ {3}^{1.41}$ ， $3$ {3}^{1.414}$ ， $3$ {3}^{1.4142}$ ， $3$ {3}^{1.41421}$ ， $3$ {3}^{1.414213}$ ， $3$ {3}^{1.4142135}$ ，･･････

となる．この数列の値は以下のようになり

$3$\displaystyle{\begin{array} {3}^{1} &=&3& \vspace{6}\\ {3}^{ 1.4 } &=& 4.655536\cdots & \vspace{6}\\ {3}^{ 1.41 } &=& 4.706965\cdots & \vspace{6}\\ {3}^{ 1.414 } &=& 4.727695\cdots & \vspace{6}\\ {3}^{ 1.4142 } &=& 4.728733\cdots & \vspace{6}\\ {3}^{ 1.41421 } &=& 4.728785\cdots & \vspace{6}\\ {3}^{ 1.414213 } &=& 4.728801\cdots & \vspace{6}\\ {3}^{ 1.4142135 } &=& 4.728804\cdots & \vspace{6}\\ \cdots &\cdots &\cdots & \vspace{6}\\ \end{array}}$

ある一定の値に近づく．その値を $3$\displaystyle{ {3}^{ \sqrt{2} } }$ と定める．

■参考

⇒ [1]正の整数の場合，[2]0，負の整数の場合，[3]有理数の場合，[4]実数の場合

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最終更新日： 2025年4月26日