指数が正の有理数の場合

$3$\displaystyle{ a> 0 }$ ， $3$m$ ， $3$n$ は正の整数とする．

$3$\displaystyle{ {a}^{ \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }=\sqrt[n]{ {a}^{m} } }$ 　特に $3$m=1$ のとき， $3$\displaystyle{{a}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }=\sqrt[n]{a}}$

■導出

指数法則がなりたつとすると

$3$\displaystyle{ { $ {a}^{ \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} } $ }^{n}={a}^{ \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\times n }={a}^{m} }$ 　･･････(1)

一方

$3$\displaystyle{ {a}^{m} }$ の $3$n$ 乗根 $3$\displaystyle{ \sqrt[n]{ {a}^{m} } }$ を $3$n$ 乗すると $3$\displaystyle{ {a}^{m} }$ となる⇒累乗根を参照

式で示すと， $3$\displaystyle{ { $ \sqrt[n]{ {a}^{m} } $ }^{n}={a}^{m} }$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{{\left({ {a}^{ \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} } }\right)}^{n}={\left({ \sqrt[n]{ {a}^{m} } }\right)}^{n}}$

よって

$3$\displaystyle{ {a}^{ \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }=\sqrt[n]{ {a}^{m} } }$

となる．

■事例

$3$\displaystyle{{a}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }=\sqrt{a}}$

$3$\displaystyle{{a}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }=\sqrt[3]{a}}$

$3$\displaystyle{{a}^{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }={\left({ {a}^{2} }\right)}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }=\sqrt[3]{ {a}^{2} }}$

■参考

⇒指数が[1]正の整数の場合，[2]0，負の整数の場合，[3]有理数の場合，[4]実数の場合

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最終更新日： 2024年7月13日