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number & formula	function	geometry	power & logarithm	vector	trigonometric function
complex number	derivation	integration	probability	matrix	others

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応用分野：対数計算の基本，指数計算の基本，指数が実数の場合，指数計算の手順，指数が有理数の場合，指数が負の有理数の場合，指数が正の有理数の場合，指数が負の整数の場合，指数が0の場合，指数が正の整数の場合，累乗，

指数が0，負の整数の場合（指数を正の整数から整数全体に拡張）

$3$\displaystyle{ a\neq 0 }$ ， $3$n$ は正の整数とする．この場合

0が指数となる場合：　　 $3$\displaystyle{ {a}^{0}=1 }$

負の整数-nが指数となる場合：　　 $3$\displaystyle{ {a}^{ - n }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{n} \hspace{2}} }$

と定める．

具体例として

$3$\displaystyle{ {2}^{0}=1 }$

$3$\displaystyle{ {2}^{ - 2 }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$ すなわち， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$ は指数を用いて表すと $3$\displaystyle{ {2}^{ - 2 } }$ となる．

このように定めると， $3$a$ の $3$n$ 乗 $3$\displaystyle{ {a}^{n} }$ の指数が整数 $3$n$ の場合でも，指数法則が成り立つ．また，指数が0や負の整数の場合を導入すると，指数法則に

$3$ \frac{\hspace{2} {a}^{m} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{n} \hspace{2}}={a}^{ m- n }$
$3$\displaystyle{ { \( \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} \) }^{n}=\frac{\hspace{2} {a}^{n} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{n} \hspace{2}} }$

が追加される．指数法則を書き直すと

指数法則

$3$ a\neq 0$ ， $3$ b\neq 0$ ， $3$m$ ， $3$n$ は整数とするとき

$3$\displaystyle{{a}^{m}\cdot {a}^{n}={a}^{ m+n }}$
$3$\displaystyle{{ \( {a}^{m} \) }^{n}={a}^{ mn }}$
$3$\displaystyle{{ \( ab \) }^{m}={a}^{m}{b}^{m}}$
$3$ \frac{\hspace{2} {a}^{m} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{n} \hspace{2}}={a}^{ m- n }$
$3$\displaystyle{ { \( \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} \) }^{n}=\frac{\hspace{2} {a}^{n} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{n} \hspace{2}} }$

追加した指数法則の具体的計算例を示す．

$3$ \frac{\hspace{2} {a}^{m} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{n} \hspace{2}}={a}^{ m- n }$ の具体的計算例

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{2}^{5}\hspace{2}}{\hspace{2}{2}^{2}\hspace{2}} }$ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 × 2

$3$\displaystyle{ =2\times 2\times 2 }$

$3$\displaystyle{ ={2}^{ 5- 2 } }$

$3$\displaystyle{ ={2}^{3} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{2}^{3}\hspace{2}}{\hspace{2}{2}^{6}\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2\times 2\times 2 \hspace{2}}{\hspace{2} 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\times 2\times 2 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{2}^{ 6- 3 }\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={2}^{ 3- 6 } }$

$3$\displaystyle{ ={2}^{ - 3 } }$
$3$\displaystyle{ { \( \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} \) }^{n}=\frac{\hspace{2} {a}^{n} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{n} \hspace{2}} }$ の具体的計算例

$3$\displaystyle{ { \(\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\) }^{3} }$ $3$\displaystyle{ = \(\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\) \times \(\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\) \times \(\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\) }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2\times 2\times 2 \hspace{2}}{\hspace{2} 3\times 3\times 3 \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}{2}^{3}\hspace{2}}{\hspace{2}{3}^{3}\hspace{2}} }$

■参考

⇒指数が[1]正の整数の場合，[2]0，負の整数の場合，[3]有理数の場合，[4]実数の場合

ホーム>>カテゴリー別分類>>指数/対数>>累乗>>指数が0，負の整数の場合

最終更新日： 2025年4月26日