指数が負の有理数の場合

$3$\displaystyle{ a> 0 }$ ， $3$r$ を正の有理数とする．

$3$\displaystyle{ {a}^{ - r }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{r} \hspace{2}} }$

■導出

$3$r$ は正の有理数とする．すると， $3$- r$ は負の有理数となる．指数法則がなりたつとすると

$3$\displaystyle{ {a}^{0}={a}^{ r+ $ - r $ }={a}^{r}{a}^{ - r } }$

$3$\displaystyle{ {a}^{0}=1 }$ より（⇒指数が0，負の整数の場合を参照）

$3$\displaystyle{ {a}^{r}{a}^{ - r }=1 }$

両辺を $3$\displaystyle{ {a}^{r} }$ で割ると

$3$\displaystyle{ {a}^{ - r }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{r} \hspace{2}} }$

となる．

■事例

$3$\displaystyle{{a}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }={\left({ {a}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }\right)}^{ - 1 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{a} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{a}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }={\left({ {a}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } }\right)}^{ - 1 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt[3]{a} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{a}^{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }={\left({ {a}^{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } }\right)}^{ - 1 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ {a}^{2} }\right) }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt[3]{ {a}^{2} } \hspace{2}}}$

■参考

⇒指数が[1]正の整数の場合，[2]0，負の整数の場合，[3]有理数の場合，[4]実数の場合

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最終更新日： 2024年7月14日