指数が有理数の場合（指数を整数から有理数に拡張）

$3$\displaystyle{ a> 0 }$ ， $3$m$ ， $3$n$ は正の整数とする．また， $3$r$ を正の有理数とする．このとき

正の有理数 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }$ を指数とする場合：

$3$\displaystyle{ {a}^{ \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }=\sqrt[n]{ {a}^{m} } }$ ⇒累乗根を参照

言い換えると $3$a$ の $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }$ 乗は $3$a$ の $3$m$ 乗の $3$n$ 乗根

$3$\displaystyle{ {a}^{ - r }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{r} \hspace{2}} }$

と定める．　

具体例として

$3$\displaystyle{ \sqrt[3]{ {2}^{5} }={2}^{ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } }$ ， $3$\displaystyle{ \sqrt[4]{ 81 }=\sqrt[4]{ {3}^{4} }={3}^{ \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }={3}^{1}=3 }$

$3$\displaystyle{ {3}^{ - 1.5 }={3}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {3}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {3}^{3} } \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3\sqrt{3} \hspace{2}} }$

このように定めると， $3$a$ の $3$n$ 乗 $3$\displaystyle{ {a}^{n} }$ の指数 $3$n$ が有理数の場合でも，指数法則が成り立つ．ただし，底の条件は $3$ a\neq 0$ ， $3$ b\neq 0$ から $3$ a> 0$ ， $3$ b> 0$ に変わる（累乗根のnが偶数の場合を参照）．

指数法則

$3$ a> 0$ ， $3$ b> 0$ ， $3$r$ ， $3$s$ は有理数とするとき

$3$\displaystyle{{a}^{r}\cdot {a}^{s}={a}^{ r+s }}$
$3$\displaystyle{{ $ {a}^{r} $ }^{s}={a}^{ rs }}$
$3$\displaystyle{{ $ ab $ }^{r}={a}^{r}{b}^{r}}$
$3$ \frac{\hspace{2} {a}^{r} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{s} \hspace{2}}={a}^{ r- s }$
$3$\displaystyle{ { $ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} $ }^{r}=\frac{\hspace{2} {a}^{r} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{r} \hspace{2}} }$

具体的な計算例

$3$\displaystyle{ {2}^{ - 1.5 } }$ と $3$\displaystyle{ {2}^{ 2.5 } }$ の積を考える．

$3$\displaystyle{ {2}^{ - 1.5 }={2}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {2}^{3} } \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ {2}^{ 2.5 }={2}^{ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }=\sqrt{ {2}^{5} }={2}^{2}\sqrt{2}=4\sqrt{2} }$

よって

$3$\displaystyle{ {2}^{ - 1.5 }\times {2}^{ 2.5 }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{2} \hspace{2}}\times 4\sqrt{2}=2 }$

一方，指数法則を使って計算すると

$3$\displaystyle{ {2}^{ - 1.5 }\times {2}^{ 2.5 }={2}^{ - 1.5+2.5 }={2}^{1}=2 }$

となり，結果は一致する．

■参考

⇒指数が[1]正の整数の場合，[2]0，負の整数の場合，[3]有理数の場合，[4]実数の場合

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最終更新日： 2025年4月26日