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number & formula	function	geometry	power & logarithm	vector	trigonometric function
complex number	derivation	integration	probability	matrix	others

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応用分野：大小比較，指数が有理数の場合，指数が正の有理数の場合，２重根号のはずし方，累乗根の証明（累乗根の積），累乗根の証明（累乗根の商），累乗根の証明（累乗根の累乗），累乗根の証明（累乗根の累乗根），累乗根の証明（累乗の累乗根），

累乗根

$3$n$ を正の整数とするとき，数 $3$x$ を $3$n$ 乗すると $3$a$ になる数 $3$x$ のことを $3$a$ の $3$n$ 乗根といい，式で書くと

$3$\displaystyle{ {x}^{n}=a }$ （ $3$n$ ：正の整数）

の関係がある．

$3$\displaystyle{ y={x}^{n} }$ の関係を用いて $3$n$ 乗根を考える．

■ $3$n$ が奇数の場合

$3$ y=a$ のとき， $3$\displaystyle{ y={x}^{n} }$ を満たす $3$x$ はただ1つ定まる．その値 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{1} }$ が $3$a$ の $3$n$ 乗根で

$3$\displaystyle{ \sqrt[n]{a} }$

と表す．

図からわかるように

$3$\displaystyle{ a> 0 }$ ならば， $3$\displaystyle{ \sqrt[n]{a}> 0 }$

$3$\displaystyle{ a< 0 }$ ならば， $3$\displaystyle{ \sqrt[n]{a}< 0 }$

となる．

■ $3$n$ が偶数の場合

$3$ y=a$ $3$\displaystyle{ \( a> 0 \) }$ のとき， $3$\displaystyle{ y={x}^{n} }$ を満たす $3$x$ は2つ定まる．

正の方の $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{1} }$ を $3$\displaystyle{ \sqrt[n]{a} }$

負の方の $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{2} }$ を $3$\displaystyle{- \sqrt[n]{a} }$

と表す．

必ず $3$\displaystyle{ \sqrt[n]{a}> 0 }$ となることに注意する．例としては， $3$\displaystyle{ \sqrt{ { \( - 5 \) }^{2} }=- 5 }$ ではなく $3$\displaystyle{ \sqrt{ { \( - 5 \) }^{2} }=5 }$ である．

また

$3$\displaystyle{ a=0 }$ のとき， $3$\displaystyle{ \sqrt[n]{0}=0 }$

とし

$3$\displaystyle{ a< 0 }$ のとき， $3$\displaystyle{ a={x}^{n} }$ を満たす $3$x$ は存在しない

とする．

2乗根を平方根，3乗根を立方根ともいう．2乗根は $3$\displaystyle{ \sqrt[2]{a} }$ とは書かず2を省略して $3$\displaystyle{ \sqrt{a} }$ と書く．

$3$a$ の $3$n$ 乗根 $3$\displaystyle{ \sqrt[n]{a} }$ を $3$n$ 乗すると $3$a$ となる．すなわち

$3$\displaystyle{ { \( \sqrt[n]{a} \) }^{n}=a }$

累乗根の計算は，以下に示す計算法則が成り立つ

累乗根の公式

$3$ a> 0$ ， $3$ b> 0$ ， $3$m$ ， $3$n$ ， $3$p$ はは正の整数とするとき

● $3$\displaystyle{ \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ ab } }$ （証明）

● $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \sqrt[n]{a} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt[n]{b} \hspace{2}}=\sqrt[n]{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} } }$ （証明）

● $3$\displaystyle{ { \( \sqrt[n]{a} \) }^{ {m}^{ } }=\sqrt[n]{ {a}^{m} } }$ （証明）

● $3$\displaystyle{ \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }=\sqrt[ mn ]{a} }$ （証明）

● $3$\displaystyle{ \sqrt[n]{ {a}^{m} }=\sqrt[ np ]{ {a}^{ mp } } }$ （証明）

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最終更新日： 2025年5月1日