$3$\displaystyle{ \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }=\sqrt[ mn ]{a} }$ の証明

$3$a> 0$ ， $3$m$ ， $3$n$ は正の整数

$3$\displaystyle{ \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }=x }$ とおく．

（ $3$a> 0$ より， $3$\sqrt[n]{a}> 0$ ．よって， $3$\displaystyle{\sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }=x> 0}$ ）

まず，両辺を $3$m$ 乗する．

$3$\displaystyle{ { \left{{ \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} } }\right} }^{m}={x}^{m} }$

$3$\displaystyle{ \sqrt[n]{a}={x}^{m} }$

さらに，両辺を $3$n$ 乗する．

$3$\displaystyle{ { \left({ \sqrt[n]{a} }\right) }^{n}={ \left({ {x}^{m} }\right) }^{n} }$

$3$\displaystyle{ a={ \left({ {x}^{m} }\right) }^{n} }$

指数法則 $3$\displaystyle{ { $ {p}^{m} $ }^{n}={p}^{ mn } }$ を用いると

$3$\displaystyle{ { $ {x}^{m} $ }^{n}={x}^{ mn } }$

よって

$3$\displaystyle{ {x}^{ mn }=a }$

また，

$3$\displaystyle{ a> 0 }$ ， $3$\displaystyle{ x> 0 }$

であるので，累乗根の定義より

$3$\displaystyle{ x=\sqrt[ mn ]{a} }$

すなわち

$3$\displaystyle{ \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }=\sqrt[ mn ]{a} }$

となる．

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最終更新日： 2025年5月1日