$3$\displaystyle{ \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ ab } }$ の証明

$3$\displaystyle{ \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=x }$ とおく．

まず，両辺を $3$n$ 乗する．

$3$\displaystyle{ { $ \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} $ }^{n}={x}^{n} }$

指数法則 $3$\displaystyle{ { $ pq $ }^{n}={p}^{n}{q}^{n} }$ を用いると

$3$\displaystyle{ { $ \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} $ }^{n}={ $ \sqrt[n]{a} $ }^{n}{ $ \sqrt[n]{b} $ }^{n}=ab }$

よって

$3$\displaystyle{ {x}^{n}=ab }$

また

$3$\displaystyle{ ab> 0 }$ ， $3$\displaystyle{ x> 0 }$

であるので，累乗根の定義より

$3$\displaystyle{ x=\sqrt[n]{ ab } }$

すなわち

$3$\displaystyle{ \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ ab } }$

となる．

ホーム>>カテゴリー別分類>>指数/対数>>累乗根>> $3$\displaystyle{ \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ ab } }$ の証明

最終更新日： 2023年7月28日