２重根号のはずし方

２重根号をはずすときに用いる式

$3$ a> 0,b> 0$ のとき， $3$\displaystyle{\sqrt{ a+b+2\sqrt{ ab } }=\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
$3$\displaystyle{a> b> 0}$ のとき， $3$\displaystyle{\sqrt{ a+b- 2\sqrt{ ab } }=\sqrt{a}- \sqrt{b}}$

■式の導出

$3$\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ を2乗すると，

$3$\displaystyle{ { $ \sqrt{a}+ \sqrt{b} $ }^{2} }$

$3$\displaystyle{ ={ $\sqrt{a}$ }^{2}+ 2\sqrt{a}\sqrt{b}+ { $\sqrt{b}$ }^{2} }$

$3$\displaystyle{ =a+ 2\sqrt{ ab }+ b }$

$3$\displaystyle{ =a+ b+ 2\sqrt{ ab } }$

すなわち，

$3$\displaystyle{{ $ \sqrt{a}+\sqrt{b} $ }^{2}=a+b+2\sqrt{ ab }}$

となる．次に，両辺の2乗根をとると，

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \sqrt{ a }+\sqrt{ b }=\sqrt{ a+b+2\sqrt{ ab } }\text{\hspace{5}} } }$

　　(∵ $3$\displaystyle{ \sqrt{ a }+\sqrt{ b }> 0 }$ )

となり，上式が得られる．

$3$\displaystyle{\sqrt{ a+b- 2\sqrt{ ab } }=\sqrt{a}- \sqrt{b}}$ は $3$\displaystyle{\sqrt{a}- \sqrt{b}> 0}$ に注意して同様に計算すればよい．

■事例

$3$\displaystyle{\sqrt{ 5+2\sqrt{6} }}$ の2重根号をはずすには， $3$\displaystyle{\sqrt{ a+b+2\sqrt{ ab } }=\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ と比較をすることにより，

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}a+b=5& \vspace{6}\\ ab=6& \vspace{6}\\ \end{array} }$

を満たす $3$a$ ， $3$b$ を求めればよいことがわかる．

$3$\displaystyle{ab=6}$ より， $3$\displaystyle{ $ a,b $ = $ 1,6 $ , $ 2,3 $ }$ が候補となる．（ $3$\displaystyle{a> b> 0}$ の場合を考えている． $3$a$ ， $3$b$ が入れ替わっても同じであるため．）

候補の中で， $3$\displaystyle{a+b=5}$ を満たすのは， $3$\displaystyle{ $ a,b $ = $ 2,3 $ }$ である．

よって，

$3$\displaystyle{\sqrt{ 5+2\sqrt{6} }=\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

となる．

$3$\displaystyle{\sqrt{ 3+\sqrt{5} }}$ の2重根号をはずすには，まず，根号√の前に2がついている必要がある（例えば， $3$\displaystyle{2\sqrt{3}}$ のようになっている必要がある）．

よって，

$3$\displaystyle{ \sqrt{ 3+ \sqrt{5} } }$

$3$\displaystyle{ =\sqrt{\frac{\hspace{2} 3+ \sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}} }$

$3$\displaystyle{ =\sqrt{\frac{\hspace{2} 2 $ 3+ \sqrt{5} $ \hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot\hspace{5}1 \hspace{2}}} }$

$3$\displaystyle{ =\sqrt{\frac{\hspace{2} 6+ 2\sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}} }$

のように式を変形する．

$3$\displaystyle{ \sqrt{ 6+ 2\sqrt{5} } }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{ 1+ 5+ 2\sqrt{ 5\cdot\hspace{5}1 } } }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{5}+ 1 }$

より，

$3$\displaystyle{\sqrt{ \frac{\hspace{2} 6+2\sqrt{5} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{5}+1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{2} $ \sqrt{5}+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ \sqrt{2} $ }^{2} \hspace{2}}}$

（分母を有理化する）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sqrt{ 10 }+\sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

以上より，

$3$\displaystyle{\sqrt{ 3+\sqrt{5} }=\frac{\hspace{2} \sqrt{ 10 }+\sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．

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最終更新日： 2025年4月26日