$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \sqrt[n]{a} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt[n]{b} \hspace{2}}=\sqrt[n]{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} } }$ の証明

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \sqrt[n]{a} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt[n]{b} \hspace{2}}=x }$ とおく．

まず，両辺を $3$n$ 乗する．

$3$\displaystyle{ { $ \frac{\hspace{2} \sqrt[n]{a} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt[n]{b} \hspace{2}} $ }^{n}={x}^{n} }$

指数法則 $3$\displaystyle{ { $ \frac{\hspace{2}p\hspace{2}}{\hspace{2}q\hspace{2}} $ }^{n}=\frac{\hspace{2} {p}^{n} \hspace{2}}{\hspace{2} {q}^{n} \hspace{2}} }$ を用いると

$3$\displaystyle{ { $ \frac{\hspace{2} \sqrt[n]{a} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt[n]{b} \hspace{2}} $ }^{n}=\frac{\hspace{2} { $ \sqrt[n]{a} $ }^{n} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ \sqrt[n]{b} $ }^{n} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }$

よって

$3$\displaystyle{ {x}^{n}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} }$

また

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}}> 0 }$ ， $3$\displaystyle{ x> 0 }$

であるので，累乗根の定義より，

$3$\displaystyle{ x=\sqrt[n]{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} } }$

すなわち

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \sqrt[n]{a} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt[n]{b} \hspace{2}}=\sqrt[n]{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}b\hspace{2}} } }$

となる．

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最終更新日： 2023年9月25日