積分を用いて面積を求める問題

■問題

曲線 $3$\displaystyle{ { y=x }^{2}+4x- 3 }$ と曲線 $3$\displaystyle{ y=- {x}^{2}+2x+1 }$ で囲まれた面積を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{ 9 }$

■解説

$3$\displaystyle{ { y=x }^{2}+4x- 3 }$ と $3$\displaystyle{ { y=- x }^{2}+2x+1 }$ の交点の $3$\displaystyle{ x }$ 座標を求める．

$3$\displaystyle{ {x}^{2}+4x- 3{ =- x }^{2}+2x+1 }$

$3$\displaystyle{ 2{x}^{2}+2x- 4=0 }$

$3$\displaystyle{ { 2$x }^{2}+x- 2$=0 }$

$3$\displaystyle{ 2$x- 1$$x+2$=0 }$

$3$\displaystyle{ x=- 2,1 }$

$3$\displaystyle{ { y=x }^{2}+4x- 3 }$ と $3$\displaystyle{ y=- {x}^{2}+2x+1 }$ に囲まれた面積は図のようになる．

求める面積Sは，面積の計算より

$3$\displaystyle{ S= {\int }\limits_{ - 2 }^{1} \left{{ $- {x}^{2}+2x+1$- ${x}^{2}+4x- 3$ }\right}dx }$

$3$\displaystyle{ = {\int }\limits_{ - 2 }^{1} $- 2{x}^{2}- 2x+4$dx }$

$3$\displaystyle{ =\left[{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}- {x}^{2}+4x }\right]_{ - 2 }^{1} }$

$3$\displaystyle{ =\left({ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot {1}^{3}- {1}^{2}+4\cdot 1 }\right) }$ $3$\displaystyle{ - \left{{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot { \left({ - 2 }\right) }^{3}- { \left({ - 2 }\right) }^{2}+4\cdot \left({ - 2 }\right) }\right} }$

$3$\displaystyle{ =9 }$

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最終更新日：2025年4月27日