定積分

■問題

次の定積分を解きなさい.

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{ \sqrt{2} } {x}^{2}\sqrt{ 4- {x}^{2} } }dx}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

■ヒント

$3$\displaystyle{x=2\sin {\theta}}$ とおいて考える(置換積分)．

$3$\displaystyle{\sin }$ ， $3$\displaystyle{\cos }$ の２乗がでてくるときは，２倍角の公式を使って次数を下げた式にして計算すると解きやすい．

■解説

$3$\displaystyle{x=2\sin {\theta}}$ とおく．

両辺を $3$\displaystyle{{\theta}}$ で微分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}=2\cos {\theta}}$

$3$\displaystyle{dx=2\cos {\theta}d{\theta}}$

$3$\displaystyle{x=2\sin {\theta}}$ より

$3$\displaystyle{x=0}$ のとき， $3$\displaystyle{{\theta}=0}$

$3$\displaystyle{x=\sqrt{2}}$ のとき， $3$\displaystyle{\sqrt{2}=2\sin {\theta}}$ ， $3$\displaystyle{\sin {\theta}=\frac{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{θ=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。

積分範囲は，

$3$\displaystyle{x:0\rightarrow \sqrt{2}}$

$3$\displaystyle{{\theta}:0\rightarrow \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

よって， $3$\displaystyle{x=2\sin {\theta}}$ と $3$\displaystyle{dx=2\cos {\theta}d{\theta}}$ を代入して

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{ \sqrt{2} } {x}^{2}\sqrt{ 4- {x}^{2} } }dx}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } { $ 2\sin {\theta} $ }^{2} }\cdot \sqrt{ 4- { $ 2\sin {\theta} $ }^{2} }\cdot 2\cos {\theta}d{\theta}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } 4{ \sin }^{2}{\theta} }\cdot \sqrt{ 4- 4{ \sin }^{2}{\theta} }\cdot 2\cos {\theta}d{\theta}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } 4{ \sin }^{2}{\theta} }\cdot \sqrt{ 4 $ 1- { \sin }^{2}{\theta} $ }\cdot 2\cos {\theta}d{\theta}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } 4{ \sin }^{2}{\theta} }\cdot \sqrt{ 4{ \cos }^{2}{\theta} }\cdot 2\cos {\theta}d{\theta}}$

積分範囲 $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}\leq \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$ では $3$\displaystyle{ \cos {\theta}\geq 0 }$ である．

よって， $3$\displaystyle{ \sqrt{ 4{ \cos }^{2}{\theta} }=2\cos {\theta} }$ （ルートを外すときは符号に注意）

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } 4{ \sin }^{2}{\theta} }\cdot 2\cos {\theta}\cdot 2\cos {\theta}d{\theta}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } 16{ \sin }^{2}{\theta} }{\cos }^{2}{\theta}d{\theta}}$

2倍角の公式（ $3$\displaystyle{\sin 2{\theta}=2\sin {\theta}\cos {\theta}}$ ）より，（次数を下げるため）

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } 4{ $ 2\sin {\theta}\cos {\theta} $ }^{2}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } 4{ $ \sin 2{\theta} $ }^{2} }d{\theta}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } 4{ \sin }^{2}2{\theta} }d{\theta}}$

２倍角の公式（ $3$\displaystyle{\cos 2{\theta}=1- {\sin }^{2}{\theta}}$ $3$\displaystyle{\rightarrow {\sin }^{2}{\theta}=\frac{\hspace{2} 1- \cos 2{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ）より，

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } 4 $ \frac{\hspace{2} 1- \cos 4{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }d{\theta}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } 2 $ 1- \cos 4{\theta} $ }d{\theta}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } $ 2- 2\cos 4{\theta} $ }d{\theta}}$

$3$\displaystyle{= \[ 2{\theta}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \sin 4{\theta} \] _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=2\cdot \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \sin 4\cdot \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{- $ 2\cdot 0- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \sin 4\cdot 0 $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 0- $ 0- 0 $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年10月29日