2倍角の公式

$3$\sin 2{\alpha}=2\sin {\alpha}\cos {\alpha}$ ⇒公式の導出
$3$\displaystyle{\cos 2{\alpha}={\cos }^{2}{\alpha}- {\sin }^{2}{\alpha}}$ ⇒公式の導出
$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}=2{\cos }^{2}{\alpha}- 1& \vspace{6}\\ =1- 2{\sin }^{2}{\alpha}& \vspace{6}\\ \end{array}}$
$3$\displaystyle{\tan 2{\alpha}=\frac{\hspace{2} 2\tan {\alpha} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- { \tan }^{2}{\alpha} \hspace{2}}}$ ⇒公式の導出

■解説動画

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■公式の導出

これらの式は加法定理において， $3${\beta}={\alpha}$ とすることにより求めることができる．

●sinの2倍角の公式の導出

$3$\displaystyle{\sin 2{\alpha}=\sin $ {\alpha}+{\alpha} $ }$

$3$\displaystyle{=\sin {\alpha}\cos {\alpha}+\cos {\alpha}\sin {\alpha}}$

（加法定理を参照）

$3$\displaystyle{=2\sin {\alpha}\cos {\alpha}}$

●cosの2倍角の公式の導出

$3$\displaystyle{\cos 2{\alpha}=\cos $ {\alpha}+{\alpha} $ }$

$3$\displaystyle{=\cos {\alpha}\cos {\alpha}- \sin {\alpha}\sin {\alpha}}$

（加法定理を参照）

$3$\displaystyle{={\cos }^{2}{\alpha}- {\sin }^{2}{\alpha}}$ ･･････(1)

(1)に三角関数の相互関係 $3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\alpha}+{\cos }^{2}{\alpha}=1}$ から得られる $3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\alpha}=1- {\cos }^{2}{\alpha}}$ を代入すると，

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}={\cos }^{2}{\alpha}- $ 1- { \cos }^{2}{\alpha} $ & \vspace{6}\\ =2{\cos }^{2}{\alpha}- 1& \vspace{6}\\ \end{array}}$

すなわち

$3$\displaystyle{\cos 2{\alpha}=2{\cos }^{2}{\alpha}- 1}$

の $3$ \cos$ の2倍角の公式が得られる．

同様にして，(1)に三角関数の相互関係 $3$\displaystyle{{\sin }^{2}{\alpha}+{\cos }^{2}{\alpha}=1}$ から得られる $3$\displaystyle{{\cos }^{2}{\alpha}=1- {\sin }^{2}{\alpha}}$ を代入すると

$3$\begin{array}{lll}= $ 1- { \sin }^{2}{\alpha} $ - {\sin }^{2}{\alpha}& \vspace{6}\\ =1- 2{\sin }^{2}{\alpha}& \vspace{6}\\ \end{array}$

すなわち

$3$\displaystyle{\cos 2{\alpha}=1- 2{\sin }^{2}{\alpha}}$

の別の $3$ \cos$ の2倍角の公式が得られる．

●tanの2倍角の公式の導出

$3$\displaystyle{\tan 2{\alpha}=\tan $ {\alpha}+{\alpha} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \tan {\alpha}+\tan {\alpha} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \tan {\alpha}\tan {\alpha} \hspace{2}}}$ （加法定理を参照）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2\tan {\alpha} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- { \tan }^{2}{\alpha} \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2026年2月10日