式の導出

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int {e}^{ - iax }\sin axdx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int $ \cos ax- i\sin ax $ \sin axdx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int $ \sin ax\cos ax- i{ \sin }^{2}ax $ dx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \sin ax\cos axdx }- i\displaystyle{ \int { \sin }^{2}ax }dx}$ ･･････(1)

まず $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \sin ax\cos axdx }}$ を求める．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \sin ax\cos axdx }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \sin 2axdx }}$

これを積分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \sin 2axdx }=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}\cos 2ax}$ 　･･････(2)

次に $3$\displaystyle{i\displaystyle{ \int { \sin }^{2}ax }dx}$ を計算する．

半角の公式より

$3$\displaystyle{i\displaystyle{ \int { \sin }^{2}ax }dx=\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int $ 1- \cos 2ax $ dx }}$

これを計算すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int $ 1- \cos 2ax $ dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int dx }- \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \cos 2axdx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}\sin 2ax}$ 　･･････(3)

(1)，(2)，(3)より

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int {e}^{ - iax }\sin axdx }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}\cos 2ax- $ \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}\sin 2ax $ }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}} $ \cos 2ax- i\sin 2ax $ - \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x}$

オイラーの公式より

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4a \hspace{2}}{e}^{ - 2iax }- \frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x }$

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最終更新日： 2024年5月17日