積分の問題(応用)

■問題

$3$\displaystyle{ y=x{e}^{x}\text{ }$x\geq 0$ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
の逆関数を $3$\displaystyle{y=f$x$}$ とおく.

定積分 $3$\displaystyle{ \int _{0}^{e} f$x$dx }$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{e- 1}$

■ヒント

$3$\displaystyle{y=x{e}^{x}}$ $3$\displaystyle{$x\geq 0$}$ の逆関数を $3$\displaystyle{y=f$x$}$ とおいているので， $3$\displaystyle{ y=f$x$\Leftrightarrow x={f}^{ - 1 }$y$=y{e}^{y} }$ となる．

よって， $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{e} f$x$dx }}$ の積分変数 $3$\displaystyle{x}$ は $3$\displaystyle{ x=y{e}^{y}\text{ }$y\geq 0$ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
と表せるので， $3$\displaystyle{x=y{e}^{y}}$ とおく置換積分をする．

■解説

逆関数を $3$\displaystyle{y=f$x$}$ とおく．

$3$\displaystyle{x=y{e}^{y}}$ の両辺を $3$\displaystyle{y}$ で微分して

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}=1\cdot {e}^{y}+y{e}^{y}}$

$3$\displaystyle{\hspace{10} =$1+y${e}^{y}}$

$3$\displaystyle{dx=$1+y${e}^{y}dy}$

$3$\displaystyle{ x=y{e}^{y} }$ において，

$3$\displaystyle{x=0}$ のとき， $3$\displaystyle{y=0}$

$3$\displaystyle{x=e}$ のとき， $3$\displaystyle{y=1}$

よって，逆関数の積分範囲は，０から１までとなる．

$3$\displaystyle{dx=$1+y${e}^{y}dy}$ 　と， $3$\displaystyle{ y=f$x$ }$ を代入して，

$3$\displaystyle{ \int _{0}^{e}f $x$dx}$

$3$\displaystyle{= \int _{0}^{1} y\cdot $ 1+y $ {e}^{y} dy}$

部分積分して，

$3$\displaystyle{= \[ $ y+{y}^{2} $ {e}^{y} \] _{0}^{1}- \int _{0}^{1} $ 1+2y $ {e}^{y} dy}$

$3$\displaystyle{= \{ $ 1+{1}^{2} $ {e}^{1}- $ 0+{0}^{2} $ {e}^{0} \} }$ $3$\displaystyle{- $ \[ \( 1+2y $ {e}^{y} \] _{0}^{1}- \displaystyle{ \int _{0}^{1} 2{e}^{y} }dy \) }$

$3$\displaystyle{=2e- \{ $ 1+2 $ {e}^{1}- $ 1+0 $ {e}^{0} }$ $3$\displaystyle{ - 2 \[ {e}^{y} \] _{0}^{1} \} }$

$3$\displaystyle{=2e- \{ $ 3e- 1 $ - 2 $ {e}^{1}- {e}^{0} $ \} }$

$3$\displaystyle{=2e- $ 3e- 1- 2e+2 $ }$

$3$\displaystyle{=2e- $ e+1 $ }$

$3$\displaystyle{ =e- 1 }$

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最終更新日： 2023年11月24日