円錐の重心の計算

■問題

図のような半径 $3$R$ の半球の重心を求めよ．

■答

円の底面の中心より高さ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} 3 \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}R }$ の位置

■ヒント

半球は，回転であるので，回転体の重心を参考にする．

■解説

半球の底面の円の中心を $3$x$ 軸の原点とし，底面は $3$x$ 軸に垂直になっている．

$3$x$ 軸の位置 $3$x$ における $3$\displaystyle{x}$ 軸に垂直で厚さが微小な $3$\displaystyle{ dx }$ の円板の半径 $3$r$ は

$3$\displaystyle{r=\sqrt{ {R}^{2}- {x}^{2} }}$

となる．よって，円板の体積 $3$\displaystyle{ dV }$ は

$3$\displaystyle{ \begin{array} dV &=& {\pi}{r}^{2}dx & \vspace{6}\\ \end{array} }$ $3$\displaystyle{={\pi}\left({ {R}^{2}- {x}^{2} }\right)dx}$ ･･････(1)

となる．重心は $3$\displaystyle{x}$ 軸上にあるので，重心の $3$\displaystyle{x}$ 座標を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{G} }$ とすると

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{G} = \frac{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{0}^{R}x }dV \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{0}^{R} }dV \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \displaystyle{\int }_{0}^{R}x{\pi}\left({ {R}^{2}- {x}^{2} }\right)dx \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{\int }_{0}^{R}{\pi}\left({ {R}^{2}- {x}^{2} }\right)dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {\pi}\displaystyle{\int }_{0}^{R}\left({ x{R}^{2}- {x}^{3} }\right)dx \hspace{2}}{\hspace{2} {\pi}\displaystyle{\int }_{0}^{R}\left({ {R}^{2}- {x}^{2} }\right)dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left[{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{R}^{2}x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4} }\right] _{0}^{R} \hspace{2}}{\hspace{2} \left[{ {R}^{2}x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3} }\right] _{0}^{R} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{R}^{4}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{R}^{4} \hspace{2}}{\hspace{2} {R}^{3}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{R}^{3} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{R}^{4} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{R}^{3} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}R}$

となる．よって，重心の位置は，円の底面の中心より高さ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} 3 \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}R }$ の位置にある．

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最終更新日： 2025年3月8日