回転体の重心

曲線（直線） $3$\displaystyle{ \begin{array}y&=& f $x$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸で挟まれた区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ の部分を $3$\displaystyle{x}$ 軸を中心として回転させたときにできる回転体の体積 $3$\displaystyle{V}$ は，断面積が $3$\displaystyle{ S $x$ = {\pi}{ \{ f $x$ \} }^{2} }$ （円の面積は，半径の $3$\displaystyle{2}$ 乗 $3$\displaystyle{\times }$ 円周率）であるから

$3$\displaystyle{ V= \displaystyle{ \int _{a}^{b} {\pi}{ \{ f $x$ \} }^{2} } dx }$ （体積の計算の $3$\displaystyle{2}$ つ目の式を参照）

と表すことができる．

ここで，回転体の重心 $3$\displaystyle{G}$ の $3$\displaystyle{x}$ 座標を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{G} }$ とすると， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} }$ は

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{G} = \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}V\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{a}^{b} {\pi}x{ \{ f $x$ \} }^{2} } dx }$ （ $3$\displaystyle{ S $x$ = {\pi}{ \{ f $x$ \} }^{2} }$ を立体の重心の公式に代入する）

である．

■回転体の特徴

回転体の特徴として，図形の対称性より，回転体の重心は回転軸上にある．

つまり，回転軸を $3$\displaystyle{x}$ 軸としたとき，回転体の重心は $3$\displaystyle{x}$ 軸上（ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{G}} =0 }$ ）にあるため，計算の際は $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} }$ だけを求めればよい．

逆に，回転軸を $3$\displaystyle{y}$ 軸（ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} =0 }$ ）としたときは， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{G}} }$ だけを求めればよい．

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最終更新日： 2023年2月6日