立体の重心

ある立体があり，その断面積が変数 $3$\displaystyle{x}$ の関数 $3$\displaystyle{ S $x$ }$ として表せるとき，その区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ における立体の重心の $3$\displaystyle{x}$ 座標 $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{G}}$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{G}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}V\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{a}^{b} xS\left({x}\right)dx }}$

■導出

体積の質量 $3$\displaystyle{M}$ を求める．

ある立体があり，その断面積が変数 $3$\displaystyle{x}$ の関数 $3$\displaystyle{ S $x$ }$ として表せるとき，その区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ における立体の体積 $3$\displaystyle{V}$ は

$3$\displaystyle{ V= \displaystyle{ \int _{a}^{b} S $x$ } dx }$ ･････(1)（体積の計算を参照）

である．ここで，体積 $3$\displaystyle{V}$ の密度（単位体積あたりの質量）を $3$\displaystyle{{\rho}}$ とすると，立体の全質量 $3$\displaystyle{M}$ は

$3$\displaystyle{ M= {\rho}V }$ 　･･････(2)

であり，(1)より

$3$\displaystyle{ M= {\rho}\displaystyle{ \int _{a}^{b} S $x$ } dx }$ 　･･････(3)

となる．

次に，立体の重心の $3$\displaystyle{x}$ 座標 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{G} }$ を求める．

「重心」の定義は「物体の各部分に働く重力の合力の作用点」であり， $3$\displaystyle{x}$ 軸と交わり $3$\displaystyle{x}$ 軸と重力の方向に垂直な回転軸の回りに関して「重力による力のモーメント」＝「各々の力のモーメントの和（連続体の場合は積分）」が成り立たつ．力のモーメントの正方向が反時計回りの方向であることを考慮すると

$3$\displaystyle{- Mg\hspace{1}{x}_{G}=- { \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} {\rho}\left({ S\left({ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }\right){\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }\right)g\hspace{1}{{\xi}}_{i} }}$

( $3$\displaystyle{g}$ は重力加速度の大きさ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }$ の位置の微小は厚さ $3$\displaystyle{ {\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }$ の薄板の質量は $3$\displaystyle{ {\rho}\left({ S\left({ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }\right){\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }\right) }$ ，重力は $3$\displaystyle{ {\rho}\left({ S\left({ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }\right){\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }\right)g }$ )

$3$\displaystyle{- Mg\hspace{1}{x}_{G}=- {\rho}g{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{{\xi}}_{i}\left({ S\left({ \hspace{1}{{\xi}}_{i} }\right){\Delta}\hspace{1}{x}_{i} }\right) }}$

定積分の定義より

$3$\displaystyle{- Mg\hspace{1}{x}_{G}=- {\rho}g\displaystyle{ \int _{a}^{b} xS\left({x}\right)dx }}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{G}=\frac{\hspace{2}{\rho}\hspace{2}}{\hspace{2}M\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{a}^{b} xS\left({x}\right)dx }}$

(2)から

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\rho}\hspace{2}}{\hspace{2} {\rho}V \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{a}^{b} xS\left({x}\right)dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}V\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{a}^{b} xS\left({x}\right)dx }}$

(1)から

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{a}^{b} xS\left({x}\right)dx } \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{a}^{b} S\left({x}\right)dx } \hspace{2}}}$

■回転体の重心

立体の重心を利用することで，回転体の重心を求めることができる．

回転体の重心の求め方→ここ

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最終更新日： 2023年11月24日