部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} {x}^{2}{e}^{x} }dx}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{e- 2}$

■ヒント

部分積分法より，公式

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{a}^{b} f$x${g}^{\prime }$x$dx= \[ f$x$g$x$ \] _{a}^{b} }}$ $3$\displaystyle{- \displaystyle{ \int _{a}^{b} {f}^{\prime }$x$g$x$dx }}$

を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} {x}^{2}{e}^{x} }dx=\displaystyle{ \int _{0}^{1} {x}^{2}${e}^{x}{$}^{\prime } }dx}$ とおいて考える．

（ $3$\displaystyle{{e}^{x}}$ が $3$\displaystyle{${e}^{x}{$}^{\prime }}$ に変換できるのは，積分 $3$\displaystyle{{e}^{x}}$ を参照）

よって，

$3$\displaystyle{f$x$={x}^{2}}$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime }$x$=2x}$

$3$\displaystyle{g$x$={e}^{x}}$ ， $3$\displaystyle{{g}^{\prime }$x$={e}^{x}}$

となる．

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} {x}^{2}${e}^{x}{$}^{\prime } }dx}$

$3$\displaystyle{= \[ {x}^{2}{e}^{x} \] _{0}^{1}- \displaystyle{ \int _{0}^{1} 2x{e}^{x} }dx}$

$3$\displaystyle{={1}^{2}{e}^{1}- {0}^{2}{e}^{0}- 2\displaystyle{ \int _{0}^{1} x{e}^{x} }dx}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} x{e}^{x} }dx}$ について，

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} x{e}^{x} }dx=\displaystyle{ \int _{0}^{1} x${e}^{x}{$}^{\prime } }dx}$

とおいて考える．よって，

$3$\displaystyle{f$x$=x}$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime }$x$=1}$

$3$\displaystyle{g$x$={e}^{x}}$ ， $3$\displaystyle{{g}^{\prime }$x$={e}^{x}}$

となる．

よって，続きを解くと

$3$\displaystyle{=e- 0- 2 $ \[ x{e}^{x} \] _{0}^{1}- \displaystyle{ \int _{0}^{1} 1\cdot {e}^{x} }dx $ }$

$3$\displaystyle{=e- 2 \{ $ 1\cdot {e}^{1}- 0\cdot {e}^{0} $ - \[ {e}^{x} \] _{0}^{1} \} }$

$3$\displaystyle{=e- 2 \{ $ e- 0 $ - $ {e}^{1}- {e}^{0} $ \} }$

$3$\displaystyle{=e- 2 \{ e- $ e- 1 $ \} }$

$3$\displaystyle{=e- 2\cdot 1}$

$3$\displaystyle{=e- 2}$

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最終更新日：2025年10月2日