平面図形の重心を求める問題

■問題

直線 $3$\displaystyle{y=x}$ と曲線 $3$\displaystyle{y={x}^{2}- 4x+4}$ で囲まれた図形の重心 $3$\displaystyle{\text{G}}$ の位置を求めよ．ただし，重心の $3$\displaystyle{x}$ 座標を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} }$ ， $3$\displaystyle{y}$ 座標を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{G}} }$ とする．

■答

$3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{\text{G}},\hspace{1}{y}_{\text{G}} $ = $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }$

■ヒント

平面の重心の計算より

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} = \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}\int _{a}^{b} xf $x$ dx }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{G}} = \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}\int _{c}^{d} yg $y$ dy }$

の公式を用いる．

■解説

●図形の面積 $3$S$ を求める

まず，直線 $3$\displaystyle{y=x}$ と曲線 $3$\displaystyle{y={x}^{2}- 4x+4}$ の交点を求める.

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}y=x\text{\hspace{5}}& \vspace{6}\\ y={x}^{2}- 4x+4& \vspace{6}\\ \end{array}}$

　･･････(1)

　･･････(2)

(1)を(2)に代入する．

$3$\displaystyle{x={x}^{2}- 4x+4}$ 　･･････(3)

(3)を $3$x$ について解く．

$3$\displaystyle{{x}^{2}- 5x+4=0}$ ， $3$\displaystyle{\left({ x- 1 }\right)\left({ x- 4 }\right)=0}$ ， $3$\displaystyle{x=1,4}$ 　･･････(4)

(4)と(1)より，交点座標は

$3$\left({ 1,1 }\right)$ ， $3$\left({ 4,4 }\right)$

となる．

よって，求める面積 $3$S$ は（面積の求め方は，面積の計算を参照）

$3$\displaystyle{S=\displaystyle{ \int _{1}^{4} \| \hspace{1}{f}_{1} $x$ - \hspace{1}{f}_{2} $x$ \| dx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{1}^{4} \{ x- $ {x}^{2}- 4x+4 $ \} dx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{1}^{4} $ - {x}^{2}+5x- 4 $ dx }}$

$3$\displaystyle{=\left[{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}- 4x }\right]_{1}^{4}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot {4}^{3}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {4}^{2}- 4\cdot 4}$ $3$\displaystyle{- \left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot {1}^{3}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {1}^{2}- 4\cdot 1 }\right)}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 64 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+40- 16+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1}$

$3$\displaystyle{=- 21+23+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

● $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} }$ を求める

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{\text{G}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{1}^{4} xf $x$ dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{1}^{4} x \{ x- $ {x}^{2}- 4x+4 $ \} dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{1}^{4} x $ - {x}^{2}+5x- 4 $ dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{1}^{4} $ - {x}^{3}+5{x}^{3}- 4x $ dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}\left[{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}- 2{x}^{2} }\right]_{1}^{4}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}\left{{ \left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot {4}^{4}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot {4}^{3}- 2\cdot {4}^{2} }\right)- \left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot {1}^{4}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot {1}^{3}- 2\cdot {1}^{2} }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}\left{{ \left({ - 64+\frac{\hspace{2} 320 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- 32 }\right)- \left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- 2 }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}\left({ - 94+105+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} 45 \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

● $3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{G}} }$ を求める

まず, $3$g\left({y}\right)$ を求める． $3$y$ の範囲によって $3$g\left({y}\right)$ が異なることに注意する.

$3$\displaystyle{y={x}^{2}- 4x+4}$ より

$3$\displaystyle{y={\left({ x- 2 }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{\pm \sqrt{y}=x- 2}$

$3$\displaystyle{x=2\pm \sqrt{y}}$

となる．

$3$\displaystyle{0\leq y< 1}$ のとき

$3$\displaystyle{g\left({y}\right)=2+\sqrt{y}- \left({ 2- \sqrt{y} }\right)}$ $3$\displaystyle{=2\sqrt{y}}$

$3$\displaystyle{1\leq y< 4}$ のとき

$3$g\left({y}\right)=2+\sqrt{y}- y$

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{\text{G}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{4} yg\left({y}\right)dy }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}\left{{ \displaystyle{ \int _{0}^{1} y\cdot 2\sqrt{y}dy }+\displaystyle{ \int _{1}^{4} y\cdot \left({ 2+\sqrt{y}- y }\right)dy } }\right}}$ 　･･････(5)

となる.積分は個別に計算することにする.

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} y\cdot 2\sqrt{y}dy }}$ $3$\displaystyle{=2\displaystyle{ \int _{0}^{1} {y}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dy }}$ $3$\displaystyle{=2 \[ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{y}^{ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \] _{0}^{1}}$ $3$\displaystyle{=2 \{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ {1}^{ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }- {0}^{ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } $ \} }$ $3$\displaystyle{=2 $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\cdot 1 $ }$ $3$\displaystyle{=2\cdot \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$ 　･･････(6)

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{1}^{4} y\cdot \left({ 2+\sqrt{y}- y }\right)dy }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{1}^{4} \left({ 2y+{y}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }- {y}^{2} }\right)dy }}$

$3$\displaystyle{=\left[{ {y}^{2}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{y}^{ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{y}^{3} }\right]_{1}^{4}}$

$3$\displaystyle{={4}^{2}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\cdot {4}^{ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot {4}^{3}}$ $3$\displaystyle{- \left({ {1}^{2}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\cdot {1}^{ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot {1}^{3} }\right)}$

$3$\displaystyle{=16+\frac{\hspace{2} 64 \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot 64}$ $3$\displaystyle{- \left({ 1+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{=15+\frac{\hspace{2} 62 \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} 63 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- 6+\frac{\hspace{2} 62 \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 32 \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$ 　･･････(7)

(6)，（7）を(5)に代入する

$3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{\text{G}}=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}\left({ \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} 32 \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} 36 \hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$

よって，図形の重心 $3$\displaystyle{\text{G}}$ の位置は

$3$\displaystyle{ $ \hspace{1}{x}_{\text{G}},\hspace{1}{y}_{\text{G}} $ = $ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }$

となる．

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>> $3$\displaystyle{ y=x }$ ， $3$\displaystyle{ y= {x}^{2}- 4x+4 }$ で囲まれた図形の重心

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日

平面図形の重心を求める問題

■問題

■答

■ヒント

■解説

●図形の面積を求める

●を求める

●を求める

●図形の面積 $3$S$ を求める

● $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} }$ を求める

● $3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{G}} }$ を求める