置換積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}} }dx}$

■解説動画

◇積分の動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{1}$

■ヒント

$3$\displaystyle{1- {x}^{2}=t}$ とおき， $3$\displaystyle{t}$ の式に変換する．（置換積分法）

■解説

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}} }dx}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{ 1- {x}^{2}=t }$ とおく．（置換積分法）･･････(2)

両辺を $3$\displaystyle{x}$ で微分して，

$3$\displaystyle{ - 2x=\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$

よって， $3$\displaystyle{ xdx=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }$ ･･････(3)

$3$\displaystyle{x}$ の積分範囲より，

$3$\displaystyle{x=0}$ のとき， $3$\displaystyle{t=1}$

$3$\displaystyle{x=1}$ のとき， $3$\displaystyle{t=0}$

であるから， $3$\displaystyle{t}$ の積分範囲は， $3$\displaystyle{1\rightarrow 0}$ ･･････(4)

(1)の式を変形すると，

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}} }dx}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} { $ 1- {x}^{2} $ }^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\cdot x }dx}$

(2),(3),(4)を代入して，

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{1}^{0} {t}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }\cdot $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dt}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{1} {t}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }dt}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \[ 2{t}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \] _{0}^{1}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot 2 $ {1}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }- {0}^{ { }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } } $ }$

$3$\displaystyle{=1}$

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>定積分の問題>> $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}} }dx}$

最終更新日： 2025年10月2日