定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

■答

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}+1}$ 　

■ヒント

定積分の基本式

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ 　

基本となる関数の積分

$3$\displaystyle{\displaystyle{\int {\text{csc}}^{2}xdx =- \cot x+ C}}$ 　　　　　（ $3$C$ は積分定数）

を用いる．

■解説

あらかじめ， $3$\displaystyle{\int { \text{csc} }^{2} $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx }$ を求めておく．

$3$\displaystyle{\int { \text{csc} }^{2} $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx }$ 　

（この積分を参考にするとよい）

$3$\displaystyle{=- \cot $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ +C}$ 　

（これが $3$\displaystyle{ { \text{csc} }^{2} $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ の原始関数である）

よって，定積分計算(ヒントの式)より

$3$\displaystyle{\int _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} } { \text{csc} }^{2} $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx }$ 　 $3$\displaystyle{= \[- \cot $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \] _{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }}$

となる．

$3$\displaystyle{=- \cot $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ +\cot $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ 　

$3$\displaystyle{=- \cot \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+\cot \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ 　

（ $3$\displaystyle{ \cot x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \tan x \hspace{2}} }$ である）

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}+1}$ 　

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最終更新日： 2024年7月5日