置換積分

■問題

次の計算をせよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{0}^{1}{ \left({ x\sqrt{ 1- {x}^{2} } }\right) }^{3}dx }$

■解説動画

◇積分の動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 35 \hspace{2}}}$

■ヒント

$3$\displaystyle{\sqrt{ 1- {x}^{2} }=t}$ とおき， $3$\displaystyle{t}$ の式に変換する．（置換積分法）

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{0}^{1}{ \left({ x\sqrt{ 1- {x}^{2} } }\right) }^{3}dx }$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{\sqrt{ 1- {x}^{2} }=t}$ とおく．　　･･････(2)

両辺を２乗して， $3$\displaystyle{1- {x}^{2}={t}^{2}}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}=1- {t}^{2}}$ ･･････(3)

両辺を $3$\displaystyle{x}$ で微分して，

$3$\displaystyle{ 2x=- 2t\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$

よって， $3$\displaystyle{xdx=- tdt}$ ･･････(4)

$3$\displaystyle{x}$ の積分範囲より，

$3$\displaystyle{x=0}$ のとき， $3$\displaystyle{t=1}$

$3$\displaystyle{x=1}$ のとき， $3$\displaystyle{t=0}$

であるから， $3$\displaystyle{t}$ の積分範囲は， $3$\displaystyle{1\rightarrow 0}$ ･･････(5)

(1)の式を変形すると，

$3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{0}^{1}{ \left({ x\sqrt{ 1- {x}^{2} } }\right) }^{3}dx }$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{\int }_{0}^{1}{x}^{3}\cdot {\left({ \sqrt{ 1- {x}^{2} } }\right)}^{3}dx}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{\int }_{0}^{1}{x}^{2}\cdot {\left({ \sqrt{ 1- {x}^{2} } }\right)}^{3}\cdot xdx}$

ここに(2),(3),(4),(5)を代入して，

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{1}^{0} $ 1- {t}^{2} $ \cdot {t}^{3} }\cdot $ - tdt $ }$

$3$\displaystyle{=- \displaystyle{ \int _{1}^{0} $ 1- {t}^{2} $ \cdot {t}^{4} }dt}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} $ 1- {t}^{2} $ \cdot {t}^{4} }dt}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} $ {t}^{4}- {t}^{6} $ }dt}$

$3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{t}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}{t}^{7} \] _{0}^{1}}$

$3$\displaystyle{= $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\cdot {1}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}\cdot {1}^{7} $ }$ $3$\displaystyle{- $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\cdot {0}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}\cdot {0}^{7} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 35 \hspace{2}}}$

●別解

$3$ x=\sin {\theta}$ とおく．ただし， $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}\leq {\theta}\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$ ．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}=\cos {\theta}\text{ }\rightarrow \text{ }dx=\cos {\theta}d{\theta}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$x:0\rightarrow 1$ のとき， $3$\displaystyle{{\theta}:0\rightarrow \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

よって

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } { \left({ \sin {\theta}\sqrt{ 1- { \sin }^{2}{\theta} } }\right) }^{3}\cos {\theta}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } { \left({ \sin {\theta}\sqrt{ { \cos }^{2}{\theta} } }\right) }^{3}\cos {\theta}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}\leq {\theta}\leq \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\pi}}$ のとき， $3$\displaystyle{\cos {\theta}\geq 0}$ ．よって

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } { \sin }^{3}{\theta}{ \cos }^{4}{\theta}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \left({ 1- { \cos }^{2}{\theta} }\right)\sin {\theta}{ \cos }^{4}{\theta}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \left({ { \cos }^{4}{\theta}- { \cos }^{6}{\theta} }\right)\sin {\theta}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{\cos {\theta}=t}}$ とおく．

$3$\displaystyle{\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}=- \sin {\theta}\text{ }\rightarrow \text{ }\cos {\theta}d{\theta}=- dt}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{{\theta}:0\rightarrow \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ のとき， $3$\displaystyle{t:1\rightarrow 0}$

よって

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{1}^{0} \left({ {t}^{4}- {t}^{6} }\right)\left({ - 1 }\right)dt }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{\int }_{0}^{1}\left({ {t}^{4}- {t}^{6} }\right)dt}$

$3$\displaystyle{=\left[{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{t}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}{t}^{7} }\right]_{0}^{1}}$

$3$\displaystyle{=\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\cdot {1}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}\cdot {1}^{7} }\right)- \left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\cdot {0}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}\cdot {0}^{7} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 35 \hspace{2}}}$

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>定積分の問題>> $3$\displaystyle{ \displaystyle{\int }_{0}^{1}{ \left({ x\sqrt{ 1- {x}^{2} } }\right) }^{3}dx }$

最終更新日：2025年9月8日