定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

■答

$3$\displaystyle{1}$ 　　

■ヒント　

定積分の基本式

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ 　　

基本となる関数の積分

$3$\displaystyle{ \int { \sec }^{2}xdx=\tan x+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

を用いる．

■解説

あらかじめ， $3$\displaystyle{\int { \sec }^{2} $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx }$ を求めておく．

$3$\displaystyle{\int { \sec }^{2} $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx }$ 　　

（この積分を参考にするとよい）

$3$\displaystyle{=\tan $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ +C}$ 　　

（これが $3$\displaystyle{ { \sec }^{2} $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ の原始関数である)

よって，定積分の計算(ヒントの式)より

$3$\displaystyle{\int _{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } { \sec }^{2} $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ dx }$ 　 $3$\displaystyle{= \[ \tan $ x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \] _{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$ 　　

となる．

$3$\displaystyle{=\tan $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ - \tan $ \frac{\hspace{2} {\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{=\tan {\pi}- \tan \frac{\hspace{2} 3{\pi} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=1}$ 　　

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最終更新日： 2023年11月23日