定積分

■問題

次の定積分の値を求めよ．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{1}^{3} \frac{\hspace{2} 4x \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{x}^{2} \hspace{2}} }dx}$

$3$\displaystyle{2\log 5}$

$3$\displaystyle{1+{x}^{2}=t}$ とおいて，置換積分を行う．

$3$\displaystyle{1+{x}^{2}=t}$ を両辺 $3$\displaystyle{x}$ で微分すると，

$3$\displaystyle{2x=\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{2xdx=dt}$

となる．

$3$\displaystyle{1+{x}^{2}=t}$ に，積分範囲の上端，下端を代入すると，

$3$\displaystyle{x=1}$ のとき， $3$\displaystyle{t=2}$

$3$\displaystyle{x=3}$ のとき， $3$\displaystyle{t=10}$

となる．

積分変数を $3$\displaystyle{x}$ から $3$\displaystyle{t}$ に変換すると，

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{1}^{3} \frac{\hspace{2} 4x \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{x}^{2} \hspace{2}} }dx}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{2}^{10} \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} }dt}$

$3$\displaystyle{=2\displaystyle{ \int _{2}^{10} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} }dt}$ 　(この積分はここを参照)

よって，この積分を解くと，

$3$\displaystyle{=2 \[ \log \|t\| \] _{2}^{ 10 }}$

$3$\displaystyle{=2 $ \log 10- \log 2 $ }$ （対数の引き算についてはここを参照）

$3$\displaystyle{=2\log \frac{\hspace{2} 10 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=2\log 5}$

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最終更新日：2023年11月14日