定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{ \int _{0}^{3} x{e}^{ 3x }dx }$ 　

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}} $ 8{e}^{9}+1 $ }$ 　

■ヒント

定積分の基本式より

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ 　

部分積分法より

$3$\displaystyle{\int f $x$ {g}^{\prime } $x$ dx}$ $3$\displaystyle{=f $x$ g $x$ - \int {f}^{\prime } $x$ g $x$ dx}$ 　

を用いる．

■解説

あらかじめ， $3$\displaystyle{ \int x{e}^{ 3x }dx }$ 　を求めておく．　

$3$\displaystyle{\int x{e}^{ 3x } dx=\int x{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{ 3x } $ }^{\prime } dx}$ 　

として部分積分法を用いる．

与式 $3$\displaystyle{=\int x{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{ 3x } $ }^{\prime } dx}$ 　

$3$\displaystyle{=x\cdot $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{ 3x } $ - \int {x}^{\prime }\cdot $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{ 3x } $ dx}$ 　

（部分積分法の公式を適用する）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x{e}^{ 3x }- \int 1\cdot $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{ 3x } $ dx}$ 　

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x{e}^{ 3x }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\int {e}^{ 3x } dx}$ 　

（ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$ を積分記号 $3$\displaystyle{\int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x{e}^{ 3x }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}{e}^{ 3x }+C}$ 　

（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）
（これが $3$\displaystyle{ x{e}^{ 3x } }$ の原始関数である）

よって，定積分の計算式(ヒントの式(1))より

$3$\displaystyle{\int _{0}^{3} x{e}^{ 3x } dx= \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x{e}^{ 3x }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}{e}^{ 3x } \] _{0}^{3}}$ 　

となる．

$3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x{e}^{ 3x }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}{e}^{ 3x } \] _{0}^{3}}$ 　

$3$\displaystyle{= $ {e}^{9}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}{e}^{9} $ - $ 0- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}} $ }$ 　

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}{e}^{9}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}}$ 　

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}} $ 8{e}^{9}+1 $ }$ 　

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最終更新日： 2023年11月23日