平面図形の重心を求める問題

■問題

直線 $3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x }$ と直線 $3$y=2$ と $3$\displaystyle{y}$ 軸に囲まれた図形の重心 $3$\displaystyle{\text{G}}$ の位置を求めよ．ただし，重心の $3$\displaystyle{x}$ 座標を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} }$ ， $3$\displaystyle{y}$ 座標を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{G}} }$ とする．

■答

図形の重心 $3$\displaystyle{\text{G}}$ の位置は， $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{\text{G}},\hspace{1}{y}_{\text{G}} }\right)=\left({ 1,\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}$ となる．

■ヒント

平面の重心の計算より

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} = \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}\int _{a}^{b} xf $x$ dx }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{G}} = \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}\int _{c}^{d} yg $y$ dy }$

の公式を用いる．

■解説

●図形の面積 $3$S$ を求める

図より（面積の求め方は，面積の計算を参照）

$3$\displaystyle{ S=\displaystyle{ \int _{0}^{3} f\left({x}\right)dx } }$ $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int _{0}^{3} \left({ 2- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x }\right)dx } }$ $3$\displaystyle{ = \left[{ 2x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{2} }\right] _{0}^{3} }$ $3$\displaystyle{ =6- 3 }$ $3$\displaystyle{ =3 }$

● $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} }$ を求める

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{\text{G}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{3} xf\left({x}\right)dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{3} x\left({ 2- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x }\right)dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{3} \left({ 2x- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{2} }\right)dx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left[{ {x}^{2}- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}{x}^{3} }\right]_{0}^{3}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ 9- 6 }\right)}$

$3$\displaystyle{=1}$

● $3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{G}} }$ を求める

まず， $3$\displaystyle{g\left({y}\right)}$ を求める．

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x}$ より

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}y}$

よって

$3$\displaystyle{g\left({y}\right)=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}y}$

となる

$3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{\text{G}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{2} yg\left({y}\right)dx }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{2} y\cdot \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}ydx }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{2} \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{2}dx }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left[{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{y}^{3} }\right]_{0}^{2}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot 4}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

よって，図形の重心 $3$\displaystyle{\text{G}}$ の位置は， $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{\text{G}},\hspace{1}{y}_{\text{G}} }\right)=\left({ 1,\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\right)}$ となる．

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最終更新日： 2023年11月22日