四角錐の重心の計算

■問題

図のような底面の面積が $3$\displaystyle{A}$ ，高さが $3$\displaystyle{H}$ とする角錐の重心を求めよ．

答

角錐の底面より高さ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}H\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$ の位置

■ヒント

立体の重心を参考にする．

■答

図のように四角錐の頂点から底面に下した線分が $3$x$ 軸と重なるようにし，四角錐の頂点を原点とする．

$3$x$ 軸の位置 $3$x$ における $3$\displaystyle{x}$ 軸に垂直で厚さが微小な $3$\displaystyle{ dx }$ ，面積が $3$\displaystyle{ S $x$ }$ の薄板の体積 $3$\displaystyle{ dV }$ は

$3$\displaystyle{ dV = S $x$ dx }$ 　･･････(1)

となる．また，面積比 $3$\displaystyle{ \begin{array} A:S $x$ &=& {H}^{2}:{x}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array} }$ より

$3$\displaystyle{ S $x$ = \displaystyle{A\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {H}^{2} \hspace{2}}} \begin{array}&&& \vspace{6}\\ \end{array} }$ 　･･････(2)

となる．よって，(2)を(1)に代入すると

$3$\displaystyle{ dV =A \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {H}^{2} \hspace{2}}dx }$

となる．重心は $3$\displaystyle{x}$ 　軸上にあるので，重心の $3$\displaystyle{x}$ 座標を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{G} }$ 　とすると

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{G} = \frac{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{0}^{H}x }dV \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{0}^{H} }dV \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{= \frac{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{0}^{H} xA\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {H}^{2} \hspace{2}} }dx \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{0}^{H} A\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {H}^{2} \hspace{2}} }dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ = \frac{\hspace{2} \displaystyle{\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} {H}^{2} \hspace{2}}}\displaystyle{\int }_{0}^{H}{x}^{3}dx \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{\frac{\hspace{2}A\hspace{2}}{\hspace{2} {H}^{2} \hspace{2}}}\displaystyle{\int }_{0}^{H}{x}^{2}dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{= \frac{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{0}^{H} {x}^{3} }dx \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{0}^{H} {x}^{2} }dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{= \frac{\hspace{2}\displaystyle{ \[ \frac{\hspace{2} {x}^{4} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} \] _{0}^{H} }\hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{ \[ \frac{\hspace{2} {x}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \] }_{0}^{H} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \displaystyle{\frac{\hspace{2} {H}^{4} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}} \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{\frac{\hspace{2} {H}^{4} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{= \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}H }$

となる．よって，重心の位置は，角錐の底面より高さ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}H\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$ の位置にある．

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最終更新日： 2023年11月24日