定積分

■問題

次の定積分の値を求めよ.

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } \sin x\cos xdx }}$

■解説動画

◇積分の動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$

■ヒント

$3$\displaystyle{\sin x\cos x}$ の部分を，2倍角の公式を用いて解く．

■解説

$3$\displaystyle{\sin }$ の2倍角の公式は，

$3$\displaystyle{\sin 2x=2\sin x\cos x}$

であるから， $3$\displaystyle{\sin x\cos x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2x}$

よって

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } \sin x\cos xdx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2xdx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } \sin 2xdx }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \[ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos 2x \] _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} \[ \cos 2x \] _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ \cos 2\cdot \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- \cos 2\cdot 0 $ }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ \cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \cos 0 $ }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ 0- 1 $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>定積分の問題>> $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } \sin x\cos xdx }}$

最終更新日：2025年9月16日