定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } { \sin }^{7}xdx }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2} 35 \hspace{2}}}$

■ヒント

ウォリス積分

$3$\displaystyle{ \int _{0}^{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}} {\cos }^{n}xdx }$ $3$\displaystyle{ =\int _{0}^{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}} {\sin }^{n}xdx }$ $3$\displaystyle{=\left{{ \begin{array} \frac{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} n- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} n- 2 \hspace{2}}\cdots \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \frac{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} n- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} n- 2 \hspace{2}}\cdots \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot 1 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

	$3$n$ ：偶数
	$3$n$ ：奇数

を用いる．

■解説

ヒントの公式の $3$\displaystyle{n}$ に代入する値が $3$\displaystyle{7}$ （奇数）なので，以下のようになる．

与式 $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot 1}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2} 35 \hspace{2}}}$

●別解

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } { \sin }^{7}xdx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } { \left({ { \sin }^{2}x }\right) }^{3}\sin xdx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } { \left({ 1- { \cos }^{2}x }\right) }^{3}\sin xdx }}$

$3$\displaystyle{\cos x=t}$ とおく置換積分で解く．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \sin x}$ より $3$\displaystyle{\sin xdx=- dt}$

$3$\displaystyle{x:0\rightarrow \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ のとき $3$\displaystyle{t:1\rightarrow 0}$

よって

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{1}^{0} { \left({ 1- {t}^{2} }\right) }^{3} }\left({ - dt }\right)}$

$3$\displaystyle{=- \displaystyle{ \int _{1}^{0} { \left({ 1- {t}^{2} }\right) }^{3} }dt}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} { \left({ 1- {t}^{2} }\right) }^{3} }dt}$

3乗の展開公式を利用する．

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} \left({ 1- 3{t}^{2}+3{t}^{4}- {t}^{6} }\right) }dt}$

$3$\displaystyle{=\left[{ t- {t}^{3}+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{t}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}{t}^{7} }\right]_{0}^{1}}$

$3$\displaystyle{=1- 1+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 21- 6 \hspace{2}}{\hspace{2} 35 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2} 35 \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年10月28日