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置換積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{ - 3 }^{ - 4 } x{ \(x+3\) }^{2} }dx}$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

■ヒント

$3$\displaystyle{x+3=t}$ と置いて考える．

■解説

$3$\displaystyle{x+3=t}$ とおく．

両辺を $3$\displaystyle{x}$ で微分すると

$3$\displaystyle{1=\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{}$

よって， $3$\displaystyle{dx=dt}$

積分範囲について考えると，

$3$\displaystyle{x+3=t}$ より，

$3$\displaystyle{x=- 3}$ のとき， $3$\displaystyle{t=0}$

$3$\displaystyle{x=- 4}$ のとき， $3$\displaystyle{t=- 1}$

また， $3$\displaystyle{x+3=t}$ より， $3$\displaystyle{x=t- 3}$

以上より，与式を $3$\displaystyle{t}$ の式に変換すると，

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{ - 1 } \( t- 3 \) \cdot {t}^{2} }dt}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ - 1 } \( {t}^{3}- 3{t}^{2} \) }dt}$

$3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{t}^{4}- {t}^{3} \] _{0}^{ - 1 }}$

$3$\displaystyle{= \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot { \( - 1 \) }^{4}- { \( - 1 \) }^{3} \} }$ $3$\displaystyle{- \( \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot {0}^{4}- {0}^{3} \) }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- \( - 1 \) - 0}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}+1}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年11月14日