置換積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} \sqrt{ 4- {x}^{2} } }dx}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

■ヒント

$3$\displaystyle{x=2\sin {\theta}}$ とおいて考える．

■解説

$3$\displaystyle{x=2\sin {\theta}}$ とおく．

両辺を $3$\displaystyle{x}$ で微分すると，

$3$\displaystyle{1=2\cos {\theta}\frac{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ 　　（ $3$\displaystyle{ \sin {\theta} }$ の微分についてはここを参照）

よって，

$3$\displaystyle{dx=2\cos d{\theta}}$

積分範囲について考えると， $3$\displaystyle{x=2\sin {\theta}}$ より，

$3$\displaystyle{x=0}$ のとき，

$3$\displaystyle{2\sin {\theta}=0}$

よって，

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{x=1}$ のとき，

$3$\displaystyle{2\sin {\theta}=1}$ 　　 $3$\displaystyle{\sin {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

よって，

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\sqrt{ 4- {x}^{2} }}$ を $3$\displaystyle{{\theta}}$ の式に変換すると， $3$\displaystyle{x=2\sin {\theta}}$ より，

$3$\displaystyle{\sqrt{ 4- {x}^{2} }}$

$3$\displaystyle{=\sqrt{ 4- { $ 2\sin {\theta} $ }^{2} }}$

$3$\displaystyle{=\sqrt{ 4- 4{ \sin }^{2}{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=\sqrt{ 4 $ 1- { \sin }^{2}{\theta} $ }}$

$3$\displaystyle{=\sqrt{ 4{ \cos }^{2}{\theta} }}$

$3$\displaystyle{0\leq {\theta}\leq \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$ のとき， $3$\displaystyle{\cos {\theta}}$ は正より

$3$\displaystyle{=2\cos {\theta}}$

以上より，与式を $3$\displaystyle{{\theta}}$ の式に変換すると，

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} } 2\cos {\theta}\cdot }2\cos {\theta}d{\theta}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }4 }{\cos }^{2}{\theta}d{\theta}}$

$3$\displaystyle{=4\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} } { \cos }^{2}{\theta} }d{\theta}}$ 　･･････(1)

ここで，積分をしやすいようにcosの次数を下げる．

$3$\displaystyle{ \cos }$ の２倍角の公式より，

$3$\displaystyle{\cos 2{\theta}}$

$3$\displaystyle{={\cos }^{2}{\theta}- {\sin }^{2}{\theta}}$

$3$\displaystyle{={\cos }^{2}{\theta}- $ 1- { \cos }^{2}{\theta} $ }$

$3$\displaystyle{=2{\cos }^{2}{\theta}- 1}$

よって，

$3$\displaystyle{2{\cos }^{2}{\theta}=\cos 2{\theta}+1}$

$3$\displaystyle{{\cos }^{2}{\theta}=\frac{\hspace{2} 1+\cos 2{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

これを(1)式に代入すると，

$3$\displaystyle{4\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} } \frac{\hspace{2} 1+\cos 2{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }d{\theta}}$

$3$\displaystyle{=2\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} } $ 1+\cos 2{\theta} $ }d{\theta}}$

$3$\displaystyle{=2 \[ {\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2{\theta} \] _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=2 \{ $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2\cdot \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ - $ 0+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2\cdot 0 $ \} }$

$3$\displaystyle{=2 $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin 2\cdot \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=2 $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=2 $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=2 $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\pi}+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年10月1日