定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{\int _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{4} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 8x+3 \hspace{2}} dx}$ 　

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}\log 5}$ 　

■ヒント

(1) 定積分の基本式より，定理を用いる．

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ 　

(2) 基本となる関数の積分より，以下の公式を用いる

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx=\log \|x\| +C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

(3) 以下の関係式を用いる．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int f $ ax+b $ dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}F $ ax+b $ }}$

■解説

ヒントの(1)，(2)，(3)より

$3$\displaystyle{\int _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{4} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 8x+3 \hspace{2}} dx}$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} \left[{ \log \left|{ 8x+3 }\right| }\right] _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }^{4} }$ 　

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} \{ \log \| 32+3 \| - \log \| 4+3 \| \} }$ 　

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} $ \log 35- \log 7 $ }$ 　

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}\cdot \log \frac{\hspace{2} 35 \hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}}$ 　

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}\log 5}$ 　

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最終更新日： 2023年11月23日