ax +b =t とおける置換積分

$3$\displaystyle{{F}^{\prime } $x$ =f $x$ }$ のとき

$3$\displaystyle{\int f $ ax+b $ dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} F $ ax+b $ +C }$ $3$\displaystyle{\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}} $ a\neq 0 $ }$

■式の導出

$3$\displaystyle{\int f $ ax+b $ dx }$

$3$\displaystyle{ax+b=t}$ とおく(置換積分)と， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=a\rightarrow dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}dt}$ より

$3$\displaystyle{=\int f $t$ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}dt }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\int f $t$ dt }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}F $t$ +C}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}F $ ax+b $ +C}$

となり上式が得られる．

あるいは，合成関数の微分より

$3$\displaystyle{ { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}F \( ax+ b $ \) }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}{F}^{\prime } $ ax+ b $ \cdot { $ ax+ b $ }^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}f $ ax+ b $ \cdot a }$

$3$\displaystyle{ =f $ ax+ b $ }$

となり上式が得られる．

■具体例

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} ax+b \hspace{2}}dx =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\log \| ax+b \| +C}$ ⇒計算手順はここ

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最終更新日： 2023年10月4日