積分の計算手順

■積分の公式はここに集めています．

■積分の例題はここに集めています．

１．積分ができる形に式を整える

(1)基本となる関数の積分の和の形に持っていく

基本となる関数 $3$\displaystyle{ f $x$ }$ ： $3${x}^{{\alpha}}$ ( $3${\alpha}$ ：－1以外の実数) ， $3$\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}$ ， $3${e}^{x}$ ， $3${{\alpha}}^{x}$ ， $3$\log x$ ， $3$\sin x$ ， $3$\cos x$ ， $3$\tan x$ ⇒積分の公式で計算できる．
$3$\displaystyle{ f $ ax+b $ }$ $3$ $ a\neq 0 $$ の場合( $3$\displaystyle{f}$ は基本となる関数)： $3$ax+b=t$ とおいて置換積分で解く．実際に計算した例．

(2)その他

分数関数
- 部分分数に分解（部分分数に分解するための手順を参照）
  (例） $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} $ x+1 $ $ x- 2 $ \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{\rightarrow }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 2 \hspace{2}}}$
- 分子の次数下げ
  (例) $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} 2{x}^{2}+5x+4 \hspace{2}}{\hspace{2} x+2 \hspace{2}}\rightarrow 2x+1+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} x+2 \hspace{2}} }$
- $3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2} {f}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} f $x$ \hspace{2}} dx=\log \| f $x$ \| +C}$ の関係を利用する．ここを参照．
1次無理関数
指数の形にする．（例） $3$\sqrt[m]{ ax+b }$ $3$\displaystyle{\rightarrow }$ $3${ $ ax+b $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}m\hspace{2}} }$ さらに， $3$ax+b=t$ とおいて置換積分で解く．
高次の三角関数
- 三角関数の1次化を図る．⇒用いる公式
- $3$\displaystyle{f $ \sin x $ \cos x}$ に式を変形し， $3$\displaystyle{\sin x=t}$ とおく置換積分を行う．
  $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\cos x\rightarrow \cos xdx=dt}$ より， $3$\displaystyle{ \int f $ \sin x $ \cos xdx =\int f $t$ dt }$ ⇒解説と例題
- $3$\displaystyle{f $ \cos x $ \sin x}$ に式を変形し， $3$\displaystyle{\cos \hspace{5}x=t}$ とおく置換積分を行う．
  $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \sin x\rightarrow \sin xdx=- dt}$ より， $3$\displaystyle{ \int f $ \cos x $ \sin xdx =- \int f $t$ dt }$ ⇒解説と例題
- $3$\displaystyle{f $ \tan x $ \cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}}$ に式を変形し， $3$\displaystyle{\tan x=t}$ とおく置換積分を行う．
  $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}\rightarrow \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}dx=dt}$ より， $3$\displaystyle{\int f $ \tan x $ \cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}dx=\int f $t$ dt}$ ⇒解説と例題
- $3$\displaystyle{\int f $ \sin x,\cos x $ dx }$ に式を変形し， $3$\displaystyle{\tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=t}$ とおく置換積分を行う．　⇒ここを参照
関数の積
- 部分積分の利用（関数のどちらか一方が微分することにより簡単になる場合に有効）
  (例) $3$\displaystyle{\int x{e}^{x}dx }$ $3$\displaystyle{x}$ を微分すると1になる．
- $3$\displaystyle{\int {f}^{\prime } $ g \(x$ \) {g}^{\prime } $x$ dx=f $ g \(x$ \) +C}$ の関係を利用する．　⇒ここを参照
- $3$\displaystyle{\int { \{ f $x$ \} }^{{\alpha}}{f}^{\prime } $x$ dx=\frac{\hspace{2} { \{ f $x$ \} }^{ {\alpha}+1 } \hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha}+1 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{+C}$ この関係は $3$\displaystyle{f $x$ =t}$ とおいた置換積分で導ける．　⇒ここを参照
関数が複雑
置換積分を利用する．以下に置換の例を示す．
- $3${e}^{x}=t$ ， $3$\log x=t$ ， $3$\sin x=t$ ， $3$\displaystyle{\cos x=t}$
- $3$\displaystyle{ \int \sqrt{ {a}^{2}+{x}^{2} }dx }$ $3$\Rightarrow$ $3$\displaystyle{x=a\tan {\theta}}$ $3$\displaystyle{\left({ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ ⇒ここを参照
- $3$\displaystyle{ \int \sqrt{ {a}^{2}-{x}^{2} }dx }$ $3$\Rightarrow$ $3$x=a\sin {\theta}$ $3$\displaystyle{ $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\leq {\theta}\leq \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ ，または $3$x=a\cos {\theta}$ $3$ $ 0\leq {\theta}\leq {\pi} $$ ⇒ ここを参照
- $3$\displaystyle{ \int \sqrt{ {x}^{2}-{a}^{2} }dx }$ $3$\Rightarrow$ $3$\displaystyle{ x=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \left({ 0< {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}< {\pi} }\right) }$ ⇒ ここを参照
- $3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} } \hspace{2}}dx}$ $3$\displaystyle{\Rightarrow \{ \begin{array}{lll} x+\sqrt{ {x}^{2}+{a}^{2} }=t & \vspace{6}\\ x=a\tan {\theta}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}} $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ & \vspace{6}\\ \end{array} }$ ⇒ここを参照
- $3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} } \hspace{2}}dx}$ $3$\displaystyle{\Rightarrow \{ \begin{array}{lll} x+\sqrt{ {x}^{2}- {a}^{2} }=t & \vspace{6}\\ x=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\theta} \hspace{2}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}} $ 0< {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}< {\pi} $ & \vspace{6}\\ \end{array} }$ ⇒ここを参照
- $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{x}^{2} \hspace{2}}dx }}$ $3$\displaystyle{\Rightarrow x=a\tan {\theta}\text{\hspace{5}}\left({ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ ⇒ここを参照

２．定積分の場合，式の特徴による簡素化を図る．

偶関数
$3$\displaystyle{\int _{ - a }^{a} f $x$ dx=2\int _{0}^{a} f $x$ dx}$ （ $3$ f $x$$ ：偶関数）　⇒ここを参照
奇関数
$3$\displaystyle{\int _{ - a }^{a} f $x$ dx=0 }$ （ $3$ f $x$$ ：奇関数）　⇒ここを参照
三角関数の場合は 周期性に着目
（例） $3$\displaystyle{\int _{0}^{{\pi}} \sin $ {\pi}- x $ dx= \int _{0}^{{\pi}} \sin xdx }$

■積分計算の具体的事例

ここを見てください．対数，三角関数，分数関数などの積分の例題を掲載している．

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最終更新日： 2025年9月11日