高次の三角関数の積分(1)

$3$\displaystyle{\int f $ \sin x $ \cos xdx =\int f $t$ dt}$ 　･･････(1)

■導出

$3$\displaystyle{\sin x=t}$ とおき，置換積分を行う．

$3$\displaystyle{f $ \sin x $ =f $t$ }$

$3$\displaystyle{\sin x=t}$ とおいたとき，この式を微分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\cos x\rightarrow dt=\cos xdx}$

したがって， $3$\displaystyle{f $ \sin x $ \cos x}$ の置換積分は

$3$\displaystyle{\int f $ \sin x $ \cos xdx =\int f $t$ dt}$

となり，(1)式が導出される．

この方法は積分される関数（被積分関数）が， $3$\displaystyle{ \sin x }$ の関数 $3$\displaystyle{f $ \sin x $ }$ と $3$\displaystyle{ \cos x }$ の積である場合に適用できる．

■具体例

$3$\displaystyle{\int { \sin }^{2}x\cos xdx }$ 　･･････(2)

という関数の積分を例に考える．ここで， $3$\displaystyle{\sin x=t}$ とおき，これを微分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\cos x\rightarrow dt=\cos xdx}$

これらを用いて(2)式を置換積分すると

$3$\displaystyle{\int { \sin }^{2}x\cos xdx =\int {t}^{2}dt }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{t}^{3}+ C }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\sin }^{3}x+ C }$

他にも応用例があり，以下参照

$3$\displaystyle{\int { \cos }^{3}xdx }$	⇒	ここの置換積分で解く方法を参照

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}dx \hspace{5}\hspace{10} \hspace{10} \hspace{10} \hspace{10} }$	⇒	ここを参照

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{3}x \hspace{2}} dx}}\hspace{10} \hspace{10} \hspace{5}$	⇒	ここの置換積分で解く方法を参照

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最終更新日： 2023年7月30日