高次の三角関数の積分(3)

$3$\displaystyle{\int f $ \tan x $ \cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}dx=\int f $t$ dt }$ 　･･････(1)

■導出

$3$\displaystyle{\tan x=t}$ とおく置換積分を行う．

$3$\displaystyle{f $ \tan x $ =f $t$ }$

$3$\displaystyle{\tan x=t}$ とおいたき，この式を微分すると，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}\rightarrow dt=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}dx}$

したがって， $3$\displaystyle{ f $ \tan x $ \cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}} }$ 置換積分は

$3$\displaystyle{\int f $ \tan x $ \cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}=\int f $t$ dt}$

となり，(1)式が導出される．

この方法は積分される関数(被積分関数)が， $3$\displaystyle{\tan x}$ の関数 $3$\displaystyle{f $ \tan x $ }$ と $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}}$ の積である場合に適用できる．

■具体例

$3$\displaystyle{f $x$ =\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{3}x \hspace{2}}}$ 　･･････(2)

という関数の積分を例に考える．(2)式を変形すると以下のようになる．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} {\cos }^{3}x \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\cos }^{2}x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\tan x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\cos }^{2}x \hspace{2}} }$ 　･･････(3)

ここで， $3$\displaystyle{\tan x=t}$ とおき，これを微分する．

これらを用いて(3)式を置換積分すると

$3$\displaystyle{\int \tan x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}dx =\int tdt }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{t}^{2}+ C }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\tan }^{2}+ C }$

他にも応用例があり，以下参照

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{4}x \hspace{2}} dx}}\hspace{10} \hspace{10} \hspace{5}$ 　

　⇒　ここを参照

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終更新日： 2023年7月30日