$3$\displaystyle{ \int { \left{{ f\left({x}\right) }\right} }^{\alpha }{f}^{\prime }\left({x}\right)dx }$ の積分

$3$\displaystyle{ \int { \left{{ f\left({x}\right) }\right} }^{\alpha }{f}^{\prime }\left({x}\right)dx }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { \left{{ f\left({x}\right) }\right} }^{ \alpha +1 } \hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

■導出計算

$3$\displaystyle{ \int { \left{{ f\left({x}\right) }\right} }^{\alpha }{f}^{\prime }\left({x}\right)dx }$

$3$\displaystyle{f\left({x}\right)=t}$ とおく．（置換積分）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={f}^{\prime }\left({x}\right)\rightarrow dt={f}^{\prime }\left({x}\right)dx}$

よって

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int {t}^{\alpha }dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}{t}^{ \alpha +1 }+C}$ 　 ( $3$C$ は積分定数)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \alpha +1 \hspace{2}}f{\left({x}\right)}^{ \alpha +1 }+C}$

となる．

■事例

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int 2x{ \left({ {x}^{2}+1 }\right) }^{3}dx }}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}+1=t}$ とおく

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=2x\rightarrow dt=2xdx}$

よって

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int {t}^{3}dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{t}^{4}+C}$ （ $3$C$ は積分定数）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\left({ {x}^{2}+1 }\right)}^{4}+C}$

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最終更新日： 2025年9月11日