tan(x/2)=t とおく置換積分

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■解説

被積分関数が $3$\displaystyle{f $ \sin x,\cos x $ }$ と表されるとき， $3$\displaystyle{\tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=t}$ とおく置換積分を行う．

$3$\displaystyle{\displaystyle{\sin x=\frac{\hspace{2} 2t \hspace{2}}{\hspace{2} 1+ {t}^{2} \hspace{2}}}}$ ， $3$\displaystyle{ \cos x=\frac{\hspace{2} 1- {t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+ {t}^{2} \hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{ dx=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1+ {t}^{2} \hspace{2}}dt }$

より

$3$\displaystyle{ \int f$\sin x,\text{\hspace{5}}\cos x$dx }$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int f\left({ \frac{\hspace{2} 2t \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}},\frac{\hspace{2} 1- {t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}} }\right)\cdot \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}dt }}$

となる．

■ $3$\displaystyle{\cos x=\frac{\hspace{2} 1- {t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}}$ を導く

2倍角の公式と， $3$\displaystyle{\tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=t}$ より

$3$\displaystyle{\tan x=\frac{\hspace{2} 2\tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- { \tan }^{2}\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 2t \hspace{2}}{\hspace{2} 1- {t}^{2} \hspace{2}}}$

三角関数の相互関係の公式より

$3$\displaystyle{{\tan }^{2}\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{{\cos }^{2}\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \tan }^{2}\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+1 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}}$

半角の公式より

$3$\displaystyle{{\cos }^{2}\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1+\cos x \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

したがって

$3$\displaystyle{ \cos x }$ $3$\displaystyle{ =2{\cos }^{2}\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1+ {t}^{2} \hspace{2}}- 1 }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 1- {t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+ {t}^{2} \hspace{2}} }$

■ $3$\displaystyle{\sin x=\frac{\hspace{2} 2t \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}}$ を導く

三角関数の相互関係の公式 $3$\displaystyle{\tan x=\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}}$ より

$3$\displaystyle{ \sin x }$ $3$\displaystyle{ =\tan x\cos x }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2t \hspace{2}}{\hspace{2} 1- {t}^{2} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} 1- {t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+ {t}^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2t \hspace{2}}{\hspace{2} 1+ {t}^{2} \hspace{2}} }$

■ $3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}dt}$ を導く

$3$\displaystyle{t=\tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \sin \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}}$ なので

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} { $ \sin \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{\prime }\cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \sin \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ $ \cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2}{ $ \cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \sin \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sin \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \hspace{2}}{\hspace{2}{ $ \cos \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\cos }^{2}\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+ {t}^{2} \hspace{2}}\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 1+ {t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

したがって

$3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}dt}$

◆事例

以下に $3$\displaystyle{\tan \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=t}$ で置換して解く例題をいくつか示す．

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}dx }$ ⇒解説と解答
$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}dx }$ ⇒解説と解答
$3$\displaystyle{\int { \sec }^{2}xdx }$ ⇒解説と解答
$3$\displaystyle{\int { csc }^{2}xdx }$ ⇒解説と解答
$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sin x+\cos x+1 \hspace{2}}dx }$ ⇒解説と解答

以下に $3$\displaystyle{\tan x=t}$ で置換して解く例題をいくつか示す．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \tan }^{2}2x \hspace{2}}dx } }$ ⇒解説と解答
$3$\displaystyle{∫ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{4}x \hspace{2}}dx }$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 ⇒解説と解答
$3$\displaystyle{ \displaystyle{ ∫ \tan xdx } }$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 ⇒解説と解答

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最終更新日： 2025年9月17日

tan(x/2)=t とおく置換積分

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◆事例

■ $3$\displaystyle{\cos x=\frac{\hspace{2} 1- {t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}}$ を導く

■ $3$\displaystyle{\sin x=\frac{\hspace{2} 2t \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}}$ を導く

■ $3$\displaystyle{dx=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}dt}$ を導く