tan(x/2)=t とおく置換積分の問題(3)

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

を と置換して解きなさい．

■解説動画

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■答

     （ は積分定数）

■ヒント

手順1：
半角の公式または2倍角の公式を用いて と を変数 を用いて表す．

手順2：
を微分し， と の関係式を求める．

手順3：
求めた2つの式を用いて置換積分する．（変数 を変数 に変換する）

■解説

・まず， を変数 を用いて表す．⇒導出はここを参照

･･････(1)　

・ の式も同様に の式に変換する．⇒導出はここを参照

･･････(2)

・次に を導き を導出する．

（2倍角の公式の つ目を参照）

（ を に置き換える）

（ を に置き換える)

ここで と の関係式を求める．

（ の微分と合成関数の微分を参照 ）

（ 微分計算の詳細については，導関数の基本式 I を参照 ）

よって， より

つまり

･･････(3)　

最後に(1)，(2)，(3)式を問題の式に代入し，計算する．

を代入して，変数を元の に戻すと

となる．

■確認問題

求まった答え　 を微分し，積分前の式 に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年6月9日