不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \tan xdx } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ - \log \| \cos x \| +C }$ （ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx }=\log \|x\| +C }$ （ $3$C$ は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \tan xdx } }$

$3$\displaystyle{ \tan x=\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}} }$ の関係を利用し， $3$\displaystyle{ \cos x=t }$ と置く（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \sin x}$ →　 $3$\displaystyle{ \sin x dx=- dt }$

与式 $3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}dx } }$

$3$\displaystyle{=\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}\left({ - 1 }\right)dt}$

（ $3$\displaystyle{ \cos x=t }$ ， $3$\displaystyle{ \sin x dx=- dt }$ を与式に代入した）

$3$\displaystyle{ =- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}dt } }$

$3$\displaystyle{ =- \log \|t\| +C }$

（(1)より）

$3$\displaystyle{ =- \log \| \cos x \| +C }$ （ $3$C$ は積分定数）

( $3$\displaystyle{ t=\cos x }$ より変数を $3$t$ から $3$x$ 元に戻した)

●別解

$3$\displaystyle{ \tan x=t }$ とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=1+{\tan }^{2}x}$ $3$\displaystyle{=1+{t}^{2}}$ $3$\displaystyle{\rightarrow dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}dt}$ （参考： $3$\displaystyle{1+{\tan }^{2}x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}}}$ ）

与式 $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int t\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \cdot \frac{\hspace{2} 2t \hspace{2}}{\hspace{2} 1+{t}^{2} \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \left|{ 1+{t}^{2} }\right|+C}$

（ $3$\displaystyle{∫ \frac{\hspace{2} {f}^{′} $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} f $x$ \hspace{2}}dx =\log \| f $x$ \| +C}$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 の公式を利用した）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \left|{ 1+{ \tan }^{2}x }\right|+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \left|{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}} }\right|+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log {\left|{ \cos x }\right|}^{ - 2 }+C}$

（ $3$\hspace{1}{\log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{\log }_{a}R$ の公式を利用した）

$3$\displaystyle{=- \log \left|{ \cos x }\right|+C}$

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最終更新日： 2025年9月15日