tan(x/2)=t とおく置換積分の問題(1)

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

を と置換して解きなさい．

■解説動画

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■答

■ヒント

手順1：
半角の公式または 2倍角の公式を用いて を の式に変換する．

手順2：
を微分し， と の関係式を求める．

手順3：
求まった2つの式を問題に代入し，答を求める．

■解説

まず を導く．

（ この計算過程については，2倍角の公式を参照．また，半角の公式を用いて導く方法は， とおく置換積分を参照)

（ 詳細は，三角関数（三角比）の相互関係を参照 ）

（ を に置き換えた）

次に， を導く．

（ 詳細は，三角関数（三角比）の相互関係を参照 ）

（ 微分計算の詳細については，導関数の基本式 I を参照 ）

よって， より，

つまり，

最後に，これらの式を問題に代入し，答を導く．

（ については，部分分数に分解する手順を参照 ）

（∵ 用いて置換した変数 を元の に戻した ）

また，この解を変形すると以下のような式が得られる．

･･････(1)

（ 詳細は，三角関数（三角比）の相互関係を参照 ）

･･････(2)

（∵(1)の真数の 分母と分子に，それぞれ をかけた ）

（∵(2)の分母と分子に をかけた． であるので，真数の値は変わらない ）

･･････(3)

2倍角の公式より得られる ， を用いて，(3)を整理する．

　･･････(4)

（∵ また， ）

(∵ )

（∵ 分母と分子に共通因数 があるので約分した）

（∵ が前提になっているので， となる．よって，真数の値が負になることはないため，絶対値の記号がとれる）

この解は，別の置換方法を用いて導いた場合に得られる解である．詳しくはここを参照．

■確認問題

求まった答え ， を微分し，積分前の式 に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年10月6日