tan(x/2)=t とおく置換積分の問題(2)

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

を と置換して解きなさい．

■解説動画

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■答

     （ は積分定数）

■ヒント

手順1：
半角の公式または 2倍角の公式を用いて を の式に変換する．

手順2：
を微分し， と の関係式を求める．

手順3：
求まった2つの式を問題に代入し，答を求める．

■解説

まず を導く．

（ この計算過程については，2倍角の公式を参照
また，半角の公式を用いて導く方法は， とおく置換積分を参照)

（ 詳細は，三角関数（三角比）の相互関係を参照 ）

（ を に置き換える ）

次に を導く．

（ 詳細は，三角関数（三角比）の相互関係を参照 ）

（ 微分計算の詳細については，導関数の基本式 I を参照 ）

よって， より

つまり

最後に，これらの式を問題に代入し，答を導く．

（ については，基本となる関数の積分を参照 ）

また，別の置換方法を用いても解を得ることができる詳しくはここを参照．．

■確認問題

求まった答え を微分し，積分前の式　 に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年9月18日