平面図形の重心を求める問題

■問題

曲線 $3$\displaystyle{y=\sqrt{ 9- {x}^{2} }}$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸と $3$\displaystyle{y}$ 軸に囲まれた図形の重心 $3$\displaystyle{\text{G}}$ の位置を求めよ．ただし， $3$\displaystyle{ x\geq 0 }$ と，重心の $3$\displaystyle{x}$ 座標を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} }$ ， $3$\displaystyle{y}$ 座標を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{G}} }$ とする．

■答

図形の重心 G の位置は， $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{\text{G}},\hspace{1}{y}_{\text{G}} }\right)=\left({ \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}},\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\right)}$

■ヒント

平面の重心の計算より

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} = \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}\int _{a}^{b} xf $x$ dx }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{G}} = \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}S\hspace{2}}\int _{c}^{d} y\text{G} $y$ dy }$

の公式を用いる．

■解説

●図形の面積 $3$S$ を求める

$3$\displaystyle{S=\displaystyle{ \int _{0}^{3} \sqrt{ 9- {x}^{2} }dx }}$

$3$\displaystyle{x=3\sin {\theta}}$ とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}=3\cos {\theta}\rightarrow dx=3\cos {\theta}d{\theta}}$

$3$\displaystyle{x:0\rightarrow 3}$ の時 $3$\displaystyle{{\theta}:0\rightarrow \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \sqrt{ 9- { \left({ 3\sin {\theta} }\right) }^{2} }\cdot 3\cos {\theta}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \sqrt{ 9{ \cos }^{2}{\theta} }\cdot 3\cos {\theta}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=9\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } { \cos }^{2}{\theta}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=9\displaystyle{ \int _{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \frac{\hspace{2} 1+\cos 2{\theta} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=9\left[{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{\theta}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\sin 2{\theta} }\right]_{0}^{ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=9\cdot \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

● $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{\text{G}} }$ を求める

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{\text{G}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{0}^{3} x\sqrt{ 9- {x}^{2} }dx }}$

$3$\displaystyle{t=9- {x}^{2}}$ とお．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- 2x\rightarrow xdx=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt}$

$3$\displaystyle{x:0\rightarrow 3}$ の時 $3$\displaystyle{t:9\rightarrow 0}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{9}^{0} \sqrt{t}\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt }\right) }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 9{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{9}^{0} {t}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dt }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 9{\pi} \hspace{2}}\left[{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{t}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }\right]_{9}^{0}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 9{\pi} \hspace{2}}\left({ 0- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\cdot 27 }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}}$

● $3$\displaystyle{ \hspace{1}{y}_{\text{G}} }$ を求める

曲線 $3$\displaystyle{y=\sqrt{ 9- {x}^{2} }}$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸と $3$\displaystyle{y}$ 軸に囲まれた図形は直線 $3$y=x$ に関して対称であることより

$3$\hspace{1}{y}_{\text{G}}=\hspace{1}{x}_{\text{G}}$

となる．

以上より，図形の重心 $3$\displaystyle{\text{G}}$ の位置は， $3$\displaystyle{\left({ \hspace{1}{x}_{\text{G}},\hspace{1}{y}_{\text{G}} }\right)=\left({ \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}},\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} }\right)}$ となる．

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最終更新日： 2025年3月8日