置換積分の問題

■問題

曲線 $3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=2{x}^{2} }$ と $3$\displaystyle{x}$ 軸と直線 $3$\displaystyle{x=0}$ ， $3$\displaystyle{x=1}$ で囲まれた面積を左端区分求積法より求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

■ヒント

区分求積法を参考にする．

■解説

区間 $3$\displaystyle{\left[{ 0,1 }\right]}$ を $3$\displaystyle{n}$ 等分する． $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{0}=0}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{n}=1}$ とし，間の分点を $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{ i- 1 }}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{i}}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{ n- 1 }}$ とする．左端区分求積法を用いるので図のように求める面積を長方形の面積の和 $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}}$ で近似する．

$3$i$ 番目の長方形の面積 $3$\displaystyle{\hspace{1}{A}_{i}}$ を求める．

$3$i$ 番目の長方形の幅： $3$\displaystyle{{\Delta}x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ ･･････(1)

$3$i$ 番目の長方形の高さ： $3$\displaystyle{f\left({ \hspace{1}{x}_{ i- 1 } }\right)=f\left({ \frac{\hspace{2} i- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)=2{\left({ \frac{\hspace{2} i- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}^{2}}$ ･･････(2)

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{A}_{i}=f\left({ \hspace{1}{x}_{ i- 1 } }\right){\Delta}x}$ $3$\displaystyle{=2{\left({ \frac{\hspace{2} i- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}^{2}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}i}$ ･･････(3)

となる．

$3$\displaystyle{n}$ 個の長方形の面積の和を $3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}}$ とすると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{S}_{n}=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \hspace{1}{A}_{i} }=\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} 2{ \left({ \frac{\hspace{2} i- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right) }^{2}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }}$ ･･････(4)

となる．

求める面積 $3$\displaystyle{S}$ は

$3$\displaystyle{S={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\hspace{1}{S}_{n}}$ （このページの参考を参照）　･･････(5)

より

$3$\displaystyle{S={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} 2{ \left({ \frac{\hspace{2} i- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right) }^{2}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }}$ ･･････(6)

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \frac{\hspace{2} 2{ \left({ i- 1 }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{3} \hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{3} \hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} { \left({ i- 1 }\right) }^{2} }}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{3} \hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} \left({ {i}^{2}- 2i+1 }\right) }}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{3} \hspace{2}}\left{{ \left({ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} {i}^{2} } }\right)- 2\left({ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}i} }\right)+\left({ \displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}1} }\right) }\right}}$

（ $3$\displaystyle{\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} {i}^{2} }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}n\left({ n+1 }\right)\left({ 2n+1 }\right)}$ はここを参照， $3$\displaystyle{\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n}i}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}n\left({ n+1 }\right)}$ はここを参照．）

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{3} \hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}n\left({ n+1 }\right)\left({ 2n+1 }\right)- 2\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}n\left({ n+1 }\right)+n }\right}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} {n}^{3} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}\left{{ \left({ n+1 }\right)\left({ 2n+1 }\right)- 6\left({ n+1 }\right)+6 }\right}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3{n}^{2} \hspace{2}}\left({ 2{n}^{2}- 3n+1 }\right)}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\left({ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3{n}^{2} \hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

左端型の区分求積法の公式

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\left{{ f\left({0}\right)+f\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)+f\left({ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)+\cdots \cdots +f\left({ \frac{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{0}^{1} f\left({x}\right)dx }}$

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} f\left({ \frac{\hspace{2} i- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right) }=\displaystyle{ \int _{0}^{1} f\left({x}\right)dx }}$ ･･････(7)

この場合， $3$\displaystyle{f\left({x}\right)=2{x}^{2}}$ より，(7)は

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ n\rightarrow \infty }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}{\displaystyle{{\sum }\limits_{ i=1 }^{n} 2\left({ \frac{\hspace{2} i- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right) }}^{2}=\displaystyle{ \int _{0}^{1} 2{x}^{2}dx }}$ ･･････(8)

となる．(8)の左辺は，(6)の右辺と一致している．また

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{1} 2{x}^{2}dx }=\left[{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3} }\right]_{0}^{1}=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ ･･････(9)

当然ながら，(6)の計算結果と一致している．

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最終更新日： 2025年6月9日