円錐の重心の計算

■問題

図のような底面の半径が $3$\displaystyle{R}$ ，高さが $3$\displaystyle{H}$ の円錐の重心を求めよ．

■答

円錐の底面より高さ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}H\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$ の位置

■ヒント

回転体の重心を参考にする．

■解説

図のように円錐の対称軸が $3$x$ 軸と重なるようにし，円錐の頂点を原点とする．

$3$x$ 軸の位置 $3$x$ における $3$\displaystyle{x}$ 軸に垂直で厚さが微小な $3$\displaystyle{ dx }$ ，半径が $3$r$ の円板の体積 $3$\displaystyle{ dV }$ は

$3$\displaystyle{ dV = {\pi}{r}^{2}dx }$ 　･･････(1)

となる．また， $3$\displaystyle{ \begin{array} r:R &=& x:H & \vspace{6}\\ \end{array} }$ より

$3$\displaystyle{r=\frac{\hspace{2} R \hspace{2}}{\hspace{2}H\hspace{2}}x}$ 　･･････(2)

となる．よって，(2)を(1)に代入すると

$3$\displaystyle{dV= {\pi}{r}^{2}dx = {\pi}\frac{\hspace{2} {R}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {H}^{2} \hspace{2}}{x}^{2}dx \begin{array} \begin{array}&& \vspace{6}\\ \end{array} &&&& \vspace{6}\\ \end{array} }$ 　

となる．重心は $3$\displaystyle{x}$ 軸上にあるので，重心の $3$\displaystyle{x}$ 座標を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{x}_{G} }$ とすると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{G}=\frac{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{0}^{H}x }dV \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{0}^{H} }dV \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{= \frac{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{0}^{H} x{\pi}\frac{\hspace{2} {R}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {H}^{2} \hspace{2}}{x}^{2} }dx \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{0}^{H} {\pi}\frac{\hspace{2} {R}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {H}^{2} \hspace{2}}{x}^{2} }dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{= \frac{\hspace{2} {\pi}\displaystyle{\frac{\hspace{2} {R}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {H}^{2} \hspace{2}}}\displaystyle{ \int _{0}^{H} {x}^{3} }dx \hspace{2}}{\hspace{2} {\pi}\displaystyle{\frac{\hspace{2} {R}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {H}^{2} \hspace{2}}}\displaystyle{ \int _{0}^{H} {x}^{2} }dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{= \frac{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{0}^{H} {x}^{3} }dx \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{0}^{H} {x}^{2} }dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{= \frac{\hspace{2} \displaystyle{ \[ \frac{\hspace{2} {x}^{4} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} \] } _{0}^{H} \hspace{2}}{\hspace{2} \displaystyle{ \[ \frac{\hspace{2} {x}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \] } _{0}^{H} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{= \frac{\hspace{2}\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {H}^{4} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- 0 }\hspace{2}}{\hspace{2}\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {H}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- 0 }\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{= \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}H }$ 　

となる．

よって，重心の位置は，円錐の底面より高さ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}H\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$ の位置にある．

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最終更新日： 2023年11月23日