定積分

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{1} { 16 }^{x}dx }}$

■ヒント

$3$\displaystyle{\int _{a}^{b} f $x$ dx= \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ 　

$3$\displaystyle{ \int {a}^{x}dx=\frac{\hspace{2} {a}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}+C }$ 　　　　　　（ $3$C$ は積分定数）

を用いる．

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2} 2\log 2 \hspace{2}}}$

■解説

まず， $3$\displaystyle{\displaystyle{ \int { 16 }^{x}dx }}$ を求める．

公式より，

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int { 16 }^{x}dx }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { 16 }^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \log 16 \hspace{2}}+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {2}^{ 4x } \hspace{2}}{\hspace{2} \log {2}^{4} \hspace{2}}+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {2}^{ 4x } \hspace{2}}{\hspace{2} 4\log 2 \hspace{2}}+C}$ 　　

（　 $3$\displaystyle{\log {2}^{4}=4\log 2}$ 　は対数計算の基本を参照）
　　　　　

定積分の定理より，

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{1} { 16 }^{x} }dx= \[ \frac{\hspace{2} {2}^{ 4x } \hspace{2}}{\hspace{2} 4\log 2 \hspace{2}} \] _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{1}}$ 　　　

が成り立つ．

あとはこれを計算して,

与式 $3$\displaystyle{= \[ \frac{\hspace{2} {2}^{ 4x } \hspace{2}}{\hspace{2} 4\log 2 \hspace{2}} \] _{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }^{1}}$ 　　

（ $3$\displaystyle{ \[ F $x$ \] _{a}^{b}=F $b$ - F $a$ }$ なので， $3$\displaystyle{x}$ に $3$\displaystyle{a}$ と $3$\displaystyle{b}$ の値を代入し，計算する）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4\log 2 \hspace{2}} $ {2}^{4}- 2 $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4\log 2 \hspace{2}} $ 16- 2 $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 14 \hspace{2}}{\hspace{2} 4\log 2 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2} 2\log 2 \hspace{2}}}$

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最終更新日：2023年11月23日